Question

Найдите длину кривой, заданной в декартовых координатахy = 1 — In cosx, 0 < x <3​

Answer 1

Точно не знаю, вроде 2

Answer 2

Для того чтобы найти длину кривой, заданной уравнением y = 1 - ln(cos(x)) в интервале 0 < x < 3, мы можем использовать формулу для длины дуги кривой в декартовых координатах:

L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx

где a и b - пределы интегрирования, а dy/dx - производная функции y по x.

Сначала найдем производную функции y = 1 - ln(cos(x)):

dy/dx = d/dx (1 - ln(cos(x))) = 0 - (1/cos(x)) * (-sin(x)) = sin(x) / cos(x) = tan(x)

Теперь подставим производную в формулу для длины дуги:

L = ∫[0, 3] √(1 + tan^2(x)) dx

L = ∫[0, 3] √(1 + tan^2(x)) dx L = ∫[0, 3] √(sec^2(x)) dx L = ∫[0, 3] sec(x) dx

Для интегрирования ∫ sec(x) dx, можно использовать метод замены переменной. Пусть u = sec(x) + tan(x), тогда du = (sec(x)tan(x) + sec^2(x)) dx. Подставим в интеграл:

∫ sec(x) dx = ∫ du

Теперь вычислим определенный интеграл:

L = ∫[0, 3] du L = [u]₀³ L = sec(3) + tan(3) - (sec(0) + tan(0)) L = sec(3) + tan(3) - (1 + 0) L = sec(3) + tan(3) - 1

Чтобы получить численное значение, вычислим sec(3) и tan(3):

sec(3) ≈ 1.0101 tan(3) ≈ 0.1425

Таким образом, длина кривой на интервале 0 < x < 3 равна:

L ≈ 1.0101 + 0.1425 - 1 L ≈ 0.1526

Итак, длина кривой составляет примерно 0.1526 единиц длины.