Question

Доказать, четырехугольник ABCD - равнобедренная трапеция, если А(6;-4;2) B(1;-1;4) C(-1;4;1) D(2;6;-4) Нашла что стороны АВ и СД = корень 38 а дальше что?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдём стороны четырёхугольнька:

$AB=\sqrt{(6-1)^2+(-4-(-1))^2+(2-4)^2}=\sqrt{5^2+(-3)^2+(-2)^2}=\\=\sqrt{25+9+4} =\sqrt{38}.\\ BC=\sqrt{(1-(-1))^2+(-1-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+(-5)^2+3^2}=\\ =\sqrt{4+25+9}=\sqrt{38}.\\CD=\sqrt{(-1-2)^2+(4-6)^2+(1-(-4)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+5^2}=\\ =\sqrt{9+4+25} =\sqrt{38}.\\ AD=\sqrt{(6-2)^2+(-4-6)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{4^2+(-10)^2+6^2}=\\ =\sqrt{16+100+36}=\sqrt{152} .$

Найдём диагонали четырёхугольнька:

$AC=\sqrt{(6-(-1))^2+(-4-4)^2+(2-1)^2} =\sqrt{7^2+8^2+1^2}=\\ =\sqrt{49+64+1}=\sqrt{114}.\\ BD=\sqrt{(1-2)^2+(-1-6)^2+(4-(-4))^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2+8^2}=\\ =\sqrt{1+49+64}=\sqrt{114}.$

Так как две стороны - АВ = СD и диагонали - АС = BD,        ⇒

этот четырёхугольник - равнобедренная трапеция.

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция, мы должны убедиться, что он удовлетворяет определению равнобедренной трапеции: одна пара противоположных сторон параллельна, и две другие стороны являются равными.

У нас уже есть информация о длинах сторон AB и CD: они равны корню из 38. Теперь нам нужно доказать, что другая пара сторон AD и BC параллельны.

1. Найдем векторы направления сторон AD и BC:

Вектор направления AD = D - A = (2 - 6, 6 - (-4), -4 - 2) = (-4, 10, -6) Вектор направления BC = C - B = (-1 - 1, 4 - (-1), 1 - 4) = (-2, 5, -3)

2. Проверим, являются ли эти векторы коллинеарными (параллельными). Если векторы коллинеарны, то они пропорциональны друг другу.

Для этого можно взять одну из координатных осей (например, ось x) и проверить, совпадают ли отношения координат этой оси для обоих векторов. В данном случае, возьмем ось x:

Для вектора AD: -4 / -2 = 2 Для вектора BC: 10 / 5 = 2

Отношения координат совпадают, поэтому векторы коллинеарны.

Таким образом, мы доказали, что стороны AD и BC параллельны, так как их направляющие векторы коллинеарны.

Итак, мы убедились, что стороны AB и CD равны (длина корень из 38) и стороны AD и BC параллельны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.