Question

Решите пожалуйста интегралы: 1) dx/x(1+lnx)^5 2) x(tg^2)xdx

Answer 1

Відповідь:

1)d×(1+lnх)∧5; 2) dg²tx³

Покрокове пояснення:

1) dx/x(1+lnx)^5

будь-який вираз поділений  на себе, дорівнює 1

d×1(1+lnх)∧5

будь-який вираз помножений на 1, не змінюється

d×1(1+lnх)∧5

d×(1+lnх)∧5

2) x(tg^2)xdx

використовуйте комутативну властивість, щоб змінити порядок доданків

х×(g²t)xdx

видаліть зайві дужки

хg²txdx  

обчисліть добуток

dg²tx³

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данные интегралы.

1. Интеграл ∫ dx / (x * (1 + ln(x))^5):

Для начала давайте попробуем выполнить замену переменной: u = 1 + ln(x), тогда du/dx = 1/x, и dx = du * x.

Подставляя это в исходный интеграл, получаем:

∫ du / (u^5) = -1/4u^4 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь возвращаемся к исходной переменной: u = 1 + ln(x).

Ответ: -1 / (4 * (1 + ln(x))^4) + C.

2. Интеграл ∫ x * tan^2(x) * dx:

Используем тригонометрическую тождественную замену: tan^2(x) = sec^2(x) - 1.

Интеграл можно разбить на два члена:

∫ x * (sec^2(x) - 1) dx = ∫ x * sec^2(x) dx - ∫ x dx.

Первый интеграл ∫ x * sec^2(x) dx можно решить с помощью интегрирования по частям (интегрируем x, дифференцируем sec^2(x)).

По интегрированию по частям: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Пусть u = x, dv = sec^2(x) dx. Тогда du = dx, v = tan(x).

Применяя формулу интегрирования по частям:

∫ x * sec^2(x) dx = x * tan(x) - ∫ tan(x) dx.

Интеграл ∫ tan(x) dx можно решить путем замены переменной: u = tan(x), du = sec^2(x) dx.

Тогда ∫ tan(x) dx = ∫ u du = u^2 / 2 + C = tan^2(x) / 2 + C.

Таким образом,

∫ x * sec^2(x) dx = x * tan(x) - tan^2(x) / 2 + C1.

Теперь возвращаемся ко второму члену:

∫ x dx = x^2 / 2 + C2.

Итоговый ответ:

∫ x * tan^2(x) dx = (x * tan(x) - tan^2(x) / 2) + x^2 / 2 + C,

где C - произвольная постоянная.