Question

Укажите среди логарифмических функций возрастающую функцию: A)log2 x; B)-log2 x; C)log(1/2) x; D)log0,2 x E)log0,9 x

Answer 1

Ответ:

А) $y = log_{2} x.$

Пошаговое объяснение:

Логарифмическая функция $y = log_{a} x$ является возрастающей, если основание а > 1.

В нашем случае такой функцией является только функция $y = log_{2} x.$

В основании функции $y = - log_{2} x$  число, большее единицы, но перед логарифмом вписан знак "минус", а значит график будет симметричен графику функции $y = log_{2} x$ относительно оси абсцисс, и потому функция является убывающей.

В остальных случаях основание логарифма 0 < a < 1,  функции являются убывающими.

Answer 2

Логарифмическая функция возрастает, если её производная положительна. Производная логарифма по основанию a от x равна 1 / (x * ln(a)).

Исходя из этой информации, мы можем рассмотреть производные для каждой из предложенных функций:

A) log2 x: Производная = 1 / (x * ln(2)). Эта производная положительна для положительных x, следовательно, функция возрастает.

B) -log2 x: Производная = -1 / (x * ln(2)). Эта производная отрицательна для положительных x, следовательно, функция убывает.

C) log(1/2) x: Производная = 1 / (x * ln(1/2)). Эта производная положительна для положительных x, следовательно, функция возрастает.

D) log0,2 x: Производная = 1 / (x * ln(0,2)). Эта производная положительна для положительных x, следовательно, функция возрастает.

E) log0,9 x: Производная = 1 / (x * ln(0,9)). Эта производная положительна для положительных x, следовательно, функция возрастает.

Итак, среди данных логарифмических функций все, кроме B (-log2 x), являются возрастающими.