Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=0, y=x^2, x=-1, x=2​

Answer 1

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

$S = \int\limits^2_{-1} {x^{2}} \, dx = \frac{x^{3}}{3} |^{2}_{-1} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Answer 2

Данная фигура ограничена линиями y = 0 (ось x), y = x^2 (парабола), x = -1 и x = 2 (вертикальные линии). Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить её на две части: область между параболой и осью x, и область между параболой и вертикальными линиями.

1. Область между параболой и осью x: Здесь нам нужно найти интеграл функции y = x^2 от x = -1 до x = 0 (поскольку y = 0 при x = 0). Интеграл этой функции будет представлять площадь под кривой на этом отрезке: $A_1 = \int_{-1}^{0} x^2 \, dx$

Вычисляя этот интеграл, получаем: $A_1 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3}$

2. Область между параболой и вертикальными линиями: Здесь нам нужно найти интеграл функции y = x^2 от x = 0 до x = 2. Интеграл этой функции будет представлять площадь под кривой на этом отрезке: $A_2 = \int_{0}^{2} x^2 \, dx$

Вычисляя этот интеграл, получаем: $A_2 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

Итак, общая площадь фигуры будет суммой площадей этих двух областей: $A_{\text{общая}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Итак, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, составляет 3 квадратных единицы.