Question

Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна піввісь якої дорівнює 5, а ексцентриситет 1,4.

Answer 1

Ответ:

$\frac{x^{2} }{25} - \frac{y^{2} }{24} =1$

Пошаговое объяснение:

каноническое уравнение гиперболы имеет вид

$\frac{x^{2} }{a^{2} } - \frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

а=5

ε = 1,4 = 14/10

ε = с/а ⇒ с/а = 14/10 ; с=7

с²  = а² + b²

49=25+b²

b² = 49-25=24

теперь запишем уравнение

$\frac{x^{2} }{25} - \frac{y^{2} }{24} =1$

Answer 2

Канонічне рівняння гіперболи має наступний вигляд:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,$

де $a$ і $b$ - довжини напівосей гіперболи.

З огляду на те, що дійсна піввісь $a$ дорівнює 5, ексцентриситет $e$ дорівнює 1.4 і за відомим співвідношенням між ексцентриситетом та напівосіми гіперболи $e = \frac{c}{a}$, де $c$ - відстань від центра гіперболи до фокусу, ми можемо знайти $c$:

$c = e \cdot a = 1.4 \cdot 5 = 7.$

Тепер ми можемо підставити знайдені значення $a$ і $c$ в канонічне рівняння гіперболи:

$\frac{x^2}{5^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$

Залишилось знайти $b$. Відомо, що $b^2 = c^2 - a^2$:

$b^2 = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24.$

Отже, канонічне рівняння гіперболи з заданими параметрами має вигляд:

$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{24} = 1.$