Question

Помогите найти общее решение дифференциального уравнения2x*y*y'=1-x^2​

Answer 1

$2xyy' = 1 - x^2$

$2yy' = \frac{1}{x} - x$

$\int 2yy'\,\mathrm{d}x = \int (\frac{1}{x} - x)\,\mathrm{d}x$

$\int 2y\,\mathrm{d}y = \int (\frac{1}{x} - x)\,\mathrm{d}x$

$y^2 = \ln|x| - \frac{x^2}{2} + C$

$y = \pm\sqrt{\ln|x| - \frac{x^2}{2} + C}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, которое можно привести к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки. Начнем с данного уравнения:

$2xy\frac{dy}{dx} = 1 - x^2.$

Давайте введем новую переменную $u = y^2.$ Тогда $u' = 2yy'$ и $\frac{du}{dx} = 2xy\frac{dy}{dx}.$ Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{du}{dx} = 1 - x^2.$

Это уже линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью методов для линейных дифференциальных уравнений. Приведем его к стандартному виду:

$\frac{du}{dx} + x^2 = 1.$

Теперь используем интегрирующий множитель $e^{\int x^2 dx} = e^{\frac{x^3}{3}}.$ Умножим обе стороны уравнения на этот множитель:

$e^{\frac{x^3}{3}} \frac{du}{dx} + e^{\frac{x^3}{3}} x^2 = e^{\frac{x^3}{3}}.$

Левая сторона теперь представляет собой производную от $u$ по $x$ от произведения на интегрирующий множитель:

$\frac{d}{dx} (e^{\frac{x^3}{3}} u) = e^{\frac{x^3}{3}}.$

Теперь проинтегрируем обе стороны по $x$:

$\int \frac{d}{dx} (e^{\frac{x^3}{3}} u) dx = \int e^{\frac{x^3}{3}} dx.$

По правилу интегрирования производной произведения:

$e^{\frac{x^3}{3}} u = \int e^{\frac{x^3}{3}} dx + C,$

где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Решим интеграл справа:

$\int e^{\frac{x^3}{3}} dx = \frac{3}{3} \int e^{\frac{x^3}{3}} dx = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + D,$

где $D$ - еще одна произвольная постоянная. Подставим этот результат обратно в уравнение:

$e^{\frac{x^3}{3}} u = \frac{1}{3} e^u + D.$

Теперь выразим $u = y^2$:

$e^{\frac{x^3}{3}} y^2 = \frac{1}{3} e^{y^2} + D.$