Question

Помогите с решением. Не могу понять как решить. cos8x+√(3)cos7x-√(3)cos9x=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В тригонометрии есть ф-ла суммы cos

(cos7x-cos9x) = -2sin((7x + 9x)/2) * sin((7x - 9x)/2) = 2sin8x * sinx

cos8x + √(3) *(cos7x-cos9x) =

cos8x +  2√3 * sin8x * sinx = 0  | :cos8x

1 +  2√3 * tg8x * sinx = 0

tg8x * sinx = - (√3)/6 = - (√3)/3 * 1/2

tg8x = - (√3)/3               sinx = 1/2

8x = -pi/6 + pin              x = pi/6 + 2pin

x = -pi/48 + pin/8           x = 5pi/6 + 2pin

tg8x = (√3)/3               sinx = - 1/2

8x = pi/6 + pin              x = -pi/6 + 2pin

x = pi/48 + pin/8           x = -5pi/6 + 2pin

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и посмотрим, как можно его решить. Уравнение имеет вид:

cos(8x) + √3 * cos(7x) - √3 * cos(9x) = 0

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы свести к более простым уравнениям.

1. Мы знаем, что cos(α) + cos(β) = 2 * cos((α + β) / 2) * cos((α - β) / 2).
2. Также, cos(α) - cos(β) = -2 * sin((α + β) / 2) * sin((α - β) / 2).

Применяя эти тождества, уравнение преобразуется следующим образом:

2 * cos((8x + 9x) / 2) * cos((8x - 9x) / 2) + 2 * √3 * cos((8x + 7x) / 2) * cos((8x - 7x) / 2) = 0

Получаем:

2 * cos(8.5x) * cos((-x) / 2) + 2 * √3 * cos(7.5x) * sin(0.5x) = 0

Теперь можно разделить на 2:

cos(8.5x) * cos((-x) / 2) + √3 * cos(7.5x) * sin(0.5x) = 0

Заметим, что cos(8.5x) * cos((-x) / 2) = cos(8.5x) * cos(0.5x) (так как cos(-x) = cos(x)), и поэтому мы можем переписать уравнение как:

cos(8.5x) * cos(0.5x) + √3 * cos(7.5x) * sin(0.5x) = 0

Теперь мы видим, что здесь у нас есть произведение синуса и косинуса. Это может быть удобно представить как производную произведения. Используем формулу:

d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Применим эту формулу к нашему уравнению, где f(x) = cos(8.5x), g(x) = cos(0.5x), f'(x) = -8.5 * sin(8.5x), g'(x) = -0.5 * sin(0.5x):

d/dx [cos(8.5x) * cos(0.5x)] = -8.5 * sin(8.5x) * cos(0.5x) + cos(8.5x) * (-0.5) * sin(0.5x)

Таким образом, уравнение преобразуется в:

-8.5 * sin(8.5x) * cos(0.5x) + 0.5 * cos(8.5x) * sin(0.5x) + √3 * cos(7.5x) * sin(0.5x) = 0

Факторизуем sin(0.5x) и получим:

sin(0.5x) * (-8.5 * cos(8.5x) + 0.5 * cos(8.5x) + √3 * cos(7.5x)) = 0

Теперь у нас есть два слагаемых в скобках. Решим уравнения:

1. -8.5 * cos(8.5x) + 0.5 * cos(8.5x) + √3 * cos(7.5x) = 0
2. sin(0.5x) = 0

Для уравнения 2, sin(0.5x) = 0, решениями будут значения x, для которых 0.5x = kπ, где k - целое число.

Для уравнения 1, можем выразить cos(8.5x):

-8.5 * cos(8.5x) + 0.5 * cos(8.5x) + √3 * cos(7.5x) = 0 -8 * cos(8.5x) + √3 * cos(7.5x) = 0 cos(7.5x) = 8 / √3 * cos(8.5x)

Теперь мы видим, что это уравнение связывает cos(7.5x) и cos(8.5x), а также 8 / √3. Приблизительное значение 8 / √3 равно 4.6188. Значит, cos(7.5x) = 4.6188 * cos(8.5x).

Это уравнение можно решить численно, используя методы численной оптимизации или уточнения корней, так как оно не может быть аналитически разрешено в общем случае.