Question

Y=x^ln(x). найти y'(e)

Answer 1

$y = x^{\ln x}$

$\ln y = \ln x^{\ln x}$

$\ln y = \ln x \cdot \ln x$

$\ln y = \ln^{2}x$

$y = e^{\ln^{2}x}$

$y' = \left(e^{\ln^{2}x} \right)' = e^{\ln^{2}x} \cdot (\ln^{2}x)' = e^{\ln^{2}x} \cdot 2\ln x \cdot (\ln x)' = \dfrac{2\ln x \cdot e^{\ln^{2}x}}{x}$

$y'(e) = \dfrac{2\ln e \cdot e^{\ln^{2}e}}{e} = \dfrac{2e}{e} = 2$

Ответ: $y'(e) = 2$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = x^{\ln(x)}$ нужно использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).

Пусть $u = x$ и $v = \ln(x)$. Тогда исходная функция может быть записана как $y = u^v$.

Применяя цепное правило, производная функции $y$ по $x$ будет:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

где

$\frac{dy}{du} = vu^{v-1}$ $\frac{du}{dx} = 1$ $\frac{dy}{dv} = u^v \cdot \ln(u)$ $\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}$

Теперь подставим эти значения и вычислим производную:

$\frac{dy}{dx} = vu^{v-1} \cdot 1 + u^v \cdot \ln(u) \cdot \frac{1}{x}$

Заметим, что $v = \ln(x)$, и если $x = e$, то $v = \ln(e) = 1$. Также, $u = x = e$.

Теперь подставим $u$ и $v$ в выражение для производной:

$\frac{dy}{dx} = v \cdot u^{v-1} + u^v \cdot \ln(u) \cdot \frac{1}{x}$

Подставляем $u = e$, $v = 1$ и $x = e$:

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{1-1} + e^1 \cdot \ln(e) \cdot \frac{1}{e} = 1 + e \cdot 1 \cdot \frac{1}{e} = 1 + 1 = 2$

Итак, $y'(e) = 2$.