Question

Y=3x^4 -6x^2+1 найти экстремумы функции и интервалы монотонности

Answer 1

y'=12x³-12x

экстремумы функции:

12x*(x²-1)=0

12x*(x-1)(x+1)=0

x=0

x=1

x=-1

от -∞ до -1 ↓

от -1 до 0 ↑

от 0 до 1 ↓

от 1 до +∞ ↑

интервалы монотонности:

функция возрастает на промежутках [-1, 0] i [1;+∞)

функция убывает на промежутках (-∞, -1] i [0;1]

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции и интервалов монотонности, первым шагом будет необходимо найти производную функции Y относительно x и найти точки, где производная равна нулю. Затем, используя вторую производную, определим характер экстремумов. Интервалы монотонности можно определить, анализируя знаки производной на разных участках.

1. Найдем производную функции Y по x: Y = 3x^4 - 6x^2 + 1 Y' = d/dx (3x^4 - 6x^2 + 1) Y' = 12x^3 - 12x

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 12x^3 - 12x = 0 12x(x^2 - 1) = 0 x(x + 1)(x - 1) = 0 x = -1, 0, 1

3. Найдем вторую производную: Y'' = d/dx (12x^3 - 12x) Y'' = 36x^2 - 12

4. Определим характер экстремумов, используя вторую производную:

   • При x = -1: Y''(-1) = 36*(-1)^2 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0, значит, у нас есть локальный минимум.
   • При x = 0: Y''(0) = 36*0^2 - 12 = -12 < 0, значит, у нас есть локальный максимум.
   • При x = 1: Y''(1) = 36*1^2 - 12 = 24 > 0, значит, у нас есть локальный минимум.

Таким образом, нашли три точки с экстремумами: (-1, Y(-1)), (0, Y(0)), и (1, Y(1)).

5. Определим интервалы монотонности:
   • При x < -1, Y'' > 0, следовательно, функция возрастает.
   • Между -1 и 0, Y'' < 0, следовательно, функция убывает.
   • Между 0 и 1, Y'' > 0, следовательно, функция возрастает.
   • При x > 1, Y'' > 0, следовательно, функция возрастает.

Итак, интервалы монотонности:

• (-бесконечность, -1): Возрастание
• (-1, 0): Убывание
• (0, 1): Возрастание
• (1, +бесконечность): Возрастание

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке (0, 1) и локальные минимумы в точках (-1, -4) и (1, -4).