Question

Решите уравнение срочна 2tg2 х +3tg x +1 =0

Answer 1

Ответ:

x1=-arctg(1/2)+πk, k€Z

x2=-π/4 +πk, k€Z

Пошаговое объяснение:

2tg²x + 3tgx + 1=0

//зробимо заміну

tgx=t

2t² + 3t + 1=0

a=2

b=3

c=2

//знайдемо дискримінант

D=b²-4ac=9-4*2*1=9-8=1

√D=√1=1

//знайдемо корені рівняння t1 і t2

t=(-b±√D)/2a

t1=(-3+1)/2*2=-2/4=-1/2

t2=(-3-1)/2*2=-4/4=-1

отже t1=-1/2 та t2=-1

//зробимо зворотню заміну

1)tgx=t1=-1/2

2)tgx=t2=-1

//розвяжемо рівняння

1)tgx=-1/2

x=arctg(-1/2)+πk, k€Z

x=-arctg(1/2)+πk, k€Z

2)tgx=-1

x=arctg(-1)+πk, k€Z

x=-π/4 +πk, k€Z

Answer 2

Для решения уравнения $2\tan^2 x + 3\tan x + 1 = 0$ следуйте этим шагам:

1. Введем замену $u = \tan x$, таким образом уравнение примет вид: $2u^2 + 3u + 1 = 0$.

2. Решим полученное квадратное уравнение $2u^2 + 3u + 1 = 0$ с помощью квадратного трёхчлена или квадратного уравнения.

3. Разложим левую сторону на два множителя: $(2u + 1)(u + 1) = 0$.

4. Найдем значения $u$: $2u + 1 = 0$ или $u + 1 = 0$.

   • $2u + 1 = 0$ дает $u = -\frac{1}{2}$.
   • $u + 1 = 0$ дает $u = -1$.

5. Теперь, учитывая, что $u = \tan x$, найдем соответствующие значения $x$:

   • Когда $u = -\frac{1}{2}$: $\tan x = -\frac{1}{2}$. В первой и второй четверти значения тангенса положительны. Мы ищем такой угол, у которого тангенс равен $-\frac{1}{2}$, таким образом, $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n$ - целое число.

   • Когда $u = -1$: $\tan x = -1$. Это значение тангенса соответствует углу $-\frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n$ - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $2\tan^2 x + 3\tan x + 1 = 0$ будет: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + \pi n,$ где $n$ - целое число.