Question

Найдите значение выражения :5cos 2x+6sin²x , если ctgx = 1/3

Answer 1

$5 \cos 2x + 6\sin^{2}x = 5(\cos^{2}x - \sin^{2}x) + 6\sin^{2}x =\\= 5\cos^{2}x - 5\sin^{2}x + 6\sin^{2}x = 5\cos^{2}x + \sin^{2}x =\\= 4\cos^{2}x + \cos^{2}x + \sin^{2}x = 4\cos^{2}x + 1$

$1 + \text{ctg}^{2} \, x = \dfrac{1}{\sin^{2}x} = \dfrac{1}{1 - \cos^{2}x}$

$1 - \cos^{2}x = \dfrac{1}{1 + \text{ctg}^{2} \, x}$

$\cos^{2} x = 1 - \dfrac{1}{1 + \text{ctg}^{2} \, x} = 1 - \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{1}{3} \right)^{2}} = 1 - \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{9} } = 0,1$

$5 \cos 2x + 6\sin^{2}x= 4 \cdot 0,1 + 1 = 1,4$

Ответ: $1,4$

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте выразим синус и косинус через тангенс:

$\sin(x) = \frac{\sin(x)}{1} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}} = \frac{1}{\tan(x)}$ $\cos(x) = \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{1}{\cot(x)}$

Так как $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$, и нам дано, что $\cot(x) = \frac{1}{3}$, то $\tan(x) = 3$.

Теперь мы можем выразить синус и косинус через тангенс:

$\sin(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{1}{3}$ $\cos(x) = \frac{1}{\cot(x)} = 3$

Теперь мы можем подставить значения синуса и косинуса в выражение $5\cos(2x) + 6\sin^2(x)$:

$5\cos(2x) + 6\sin^2(x) = 5\cdot3\cos(x)^2 - 6\sin(x)^2 = 45 - 6\cdot\frac{1}{9} = 45 - \frac{2}{3} = \frac{133}{3}$

Итак, значение выражения $5\cos(2x) + 6\sin^2(x)$ при $\cot(x) = \frac{1}{3}$ равно $\frac{133}{3}$.