Question

Найдите множество всех решений уравнения |x2 − 5x + 4| = x2 − 5 |x| + 4.

Answer 1

Ответ:

[0,1]U[4,inf)

Пошаговое объяснение:

Предлагаю действительно рассмотреть графическое решение.

Введем функцию f(x)=x^2-5*x+4. Тогда данное уравнение можно переписать в виде |f(x)| = f(|x|).

Изобразим теперь графики функций |f(x)| и f(|x|), найдем множество точек их пересечения. Это множество и будет искомым множеством решений уравнения.

Напомню, что  

|f(x)| получается из f(x) "отзеркаливанием" части графика, лежащей ниже оси Ox, относительно Ox вверх; f(|x|) выходит из f(x) отзеркаливанием части графика, лежащей правее оси Oy, относительно Oy влево. См. картинку.

Имеем решение х в [0,1]U[4,inf)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение по частям. Уравнение имеет вид:

|x^2 - 5x + 4| = x^2 - 5|x| + 4

Первое, что можно заметить, это то, что выражение в модуле справа может быть разбито на два случая в зависимости от знака переменной x:

1. Если x ≥ 0, то у нас есть x^2 - 5x + 4 = x^2 - 5x + 4. Очевидно, что это уравнение выполняется для любого x ≥ 0.
2. Если x < 0, то у нас есть x^2 - 5x + 4 = x^2 + 5x + 4. Это уравнение также выполняется для любого x < 0.

Теперь давайте рассмотрим левую сторону уравнения:

|x^2 - 5x + 4|

Мы можем разложить это выражение на два случая, в зависимости от знака выражения внутри модуля:

1. Если x^2 - 5x + 4 ≥ 0, то модуль не влияет на выражение, и мы имеем x^2 - 5x + 4 = x^2 - 5x + 4.
2. Если x^2 - 5x + 4 < 0, то модуль меняет знак выражения, и у нас получается - (x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4.

Теперь мы можем объединить полученные уравнения:

1. Для x ≥ 0: x^2 - 5x + 4 = x^2 - 5x + 4
2. Для x < 0: - (x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4

В обоих случаях у нас получается исходное уравнение x^2 - 5x + 4 = x^2 - 5x + 4, так как знаки справа и слева совпадают.

Итак, множество всех решений данного уравнения - это все действительные числа x.