Question

На доске написано несколько натуральных чисел каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4. а) может ли сумма этих чисел быть равна 282 б) может ли сумма этих чисел быть равна 390

Answer 1

Мои рассуждения:

на первый взгляд и 282, и 390 подходят по следующим обязательным признакам:

• оба делятся на 3, как и исходные натуральные числа;

• оба оканчиваются чётным числом, как и должно быть при суммировании чисел, оканчивающихся на чётное число (в нашем случае 4).

Подойдём более конкретно и обнаружим все подходящие натуральные числа в пределах 390:

24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 264, 294, 324, 354, 384.

(эти числа легко обнаружить: сначала можно перебирать числа, сумма цифр которых делится на 3, а само число оканчивается на 4. А потом увидеть закономерность, что к каждому следующему числу просто прибавляется 30, что логично, ведь порядок единиц (4) мы не можем изменять по условию)

Посмотрим, может ли сумма этих чисел быть равна 282. Чтобы число оканчивалось на 2, нужно сложить исходные натуральные числа (оканчивающиеся на 4) 3 раза (3*4=12) или 8 раз (8*4=32). Если сложить 8 чисел из нашего списка, выйдет слишком много. Значит, попробуем выбрать 3 подходящих числа:

$144 + 114 + 24 = 282$

(числа выбирались с использованием некоторой логики (в каких пределах они могут лежать), но в остальном навскидку)

По той же логике рассмотрим число 390: для составления такой суммы нам понадобится 5 чисел. Легко заметить, что сумма пяти чисел, начиная с 54, уже даёт больше, чем 390:

54 + 84 + 114 + 144 + 174 = 570.

Значит, единственный возможный вариант – сумма первых 5 чисел. Проверим:

24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420.

Всё равно больше. Значит, ЕСЛИ ЧИСЛА НЕ ПОВТОРЯЮТСЯ, из них нельзя составить 390.

Если повторяются, то:

$24 + 54 + 84 + 114 + 114 = 390$

Ответ: если числа не повторяются, то можно составить только 282. Если повторяются, то можно составить оба числа: и 282, и 390.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно рассмотреть условия, которым должны удовлетворять числа.

Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр также должна быть кратна 3. Поскольку сумма двух чисел, кратных 3, также будет кратна 3, сумма нескольких чисел, каждое из которых делится на 3, также будет делиться на 3.

Теперь посмотрим на последнюю цифру числа. Чтобы число оканчивалось на 4, его последняя цифра должна быть 4.

а) Мы ищем сумму чисел, которая равна 282. Поскольку 282 не делится на 3, невозможно найти такие числа, сумма которых будет равна 282.

б) Мы ищем сумму чисел, которая равна 390. 390 делится на 3, поэтому сумма таких чисел может быть равна 390. Одним из возможных чисел, удовлетворяющих условию (делится на 3 и оканчивается на 4), является число 384. В этом случае, другое число должно быть 6. Следовательно, сумма 384 и 6 равна 390.

Таким образом, ответы на поставленные вопросы:

а) Нет, сумма этих чисел не может быть равна 282.

б) Да, сумма этих чисел может быть равна 390.