Question

Укажите промежуток содержащий наименьший корень уравнения log8(x2-x) =log8(x+8)

Answer 1

ОДЗ

х²-х>0; х*(х-1)>0;

_____0___1_____

 +            -      +

x+8>0; х>-8;⇒х∈(-8;0)∪(1;+∞)

㏒₈(х²-х)=㏒₈(х+8)⇒х²-х=х+8; х²-2х-8=0; По Виету х=4; х=-2-наименьий корень уравнения. Оба корня попадают в ОДЗ,

Ответ х=-2

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

log₈(x² - x) = log₈(x + 8)

Обратите внимание, что обе стороны уравнения содержат логарифмы с одинаковым основанием (основание 8). Это значит, что можно применить свойство логарифма, которое гласит, что если логарифмы с одинаковым основанием равны, то аргументы под логарифмами также равны:

x² - x = x + 8

Теперь преобразуем уравнение:

x² - x - x - 8 = 0

x² - 2x - 8 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться квадратным корнем, дискриминантом и т.д.:

Дискриминант D = b² - 4ac Для уравнения ax² + bx + c = 0: a = 1, b = -2, c = -8 D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (2 + 6) / 2 = 4 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (2 - 6) / 2 = -2

Теперь, чтобы найти промежуток, содержащий наименьший корень, нужно определить, где уравнение x² - 2x - 8 = 0 положительно, а где отрицательно. Для этого можно воспользоваться интервалами между корнями и проверкой знаков в интервалах.

У нас есть два корня: -2 и 4. Поскольку a > 0 (где a = 1), парабола смотрит вверх. Это означает, что между корнями парабола будет отрицательной, а вне этого интервала - положительной.

Итак, наименьший корень -2 находится в интервале (-∞, 4). Это и есть промежуток, содержащий наименьший корень уравнения.