Question

Найдите объем пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7,8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60o.

Answer 1

Ответ:

42*sqrt(3)

Пошаговое объяснение:

Площадь треугольника в основании по формуле Геона:

sqrt(12*5*4*3)=12*sqrt(5)

Все ребра  и их проекции на основание, очевидно равны. Более того  проекции на основание  радиус описанной окружности:

R=7*8*9/(4*12*sqrt(5))=7*3/2sqrt(5)

Высота пирамиды :R*tg(60)= 21*sqrt(3)/2sqrt(5)

Объём пирамиды : 7*6*sqrt(3)=42*sqrt(3)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,$

где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды.

Сначала найдем площадь треугольника, которое является основанием пирамиды, используя формулу полупериметра $p$ и площади Герона:

$p = \frac{a + b + c}{2},$ $S_{\text{осн}} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}.$

Где $a = 7, b = 8, c = 9$ - стороны треугольника.

$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12,$

$S_{\text{осн}} = \sqrt{12 \cdot (12 - 7) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}.$

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды $h$. Для этого нам понадобится выразить высоту через боковое ребро и угол наклона боковой грани:

$h = \text{боковое ребро} \cdot \sin(\text{угол наклона}).$

У нас дано, что боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 градусов, а боковые ребра равны 8 и 9.

Теперь подставим значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{5} \cdot (8 \cdot \sin(60^\circ)) = 4\sqrt{5} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{15}.$

Итак, объем пирамиды составляет $24\sqrt{15}$ кубических единиц.