Question

На шаховій дошці розставлені 8 тур так, що вони не б’ють одна одну. Доведіть, що на полях чорного кольору розташоване парне число тур. Підказка: Введіть координати на шаховій дошці і порахуйте суму координат всіх тур.

Answer 1

Ответ на фотографии

↓↓↓

Answer 2

Для того щоб довести, що на полях чорного кольору розташоване парне число тур, розділимо шахову дошку на білі і чорні поля. Кожне поле можна позначити парою координат (x, y), де x і y - цілі числа від 1 до 8.

Зауважимо, що тур може атакувати лише ті поля, які знаходяться на тій же вертикалі або горизонталі, що й він сам.

Враховуючи це, ми можемо розглянути наступні випадки:

1. Тур на білому полі (x, y), де обидві координати парні або обидві непарні. Такий тур може атакувати лише інші білі поля, тобто тільки поля з такою самою комбінацією парності координат. Значить, він не може атакувати інші білі поля.

2. Тур на чорному полі (x, y), де одна координата парна, а інша непарна (або навпаки). Такий тур може атакувати лише білі поля, тобто ті, де парність координат відмінна від його власної комбінації парності. Значить, він не може атакувати інші чорні поля.

Це означає, що кожен тур атакує поля протилежного кольору. Тобто, якщо ми розглянемо суму координат (x + y) всіх турів, ми побачимо, що ця сума буде рівною сумі двох координат на кожній позиції на дошці (оскільки кожен тур вносить свою координату в суму двічі).

Розглянемо чорні поля. Їхні координати (x, y), де обидві координати парні або обидві непарні. Сума координат для таких полів є парною (парне + парне = парне, непарне + непарне = парне).

Таким чином, сума координат для чорних полів є парною числом.

Оскільки на кожному чорному полі розташований рівно один тур і кожен тур додає свою координату в суму, то сума координат для всіх чорних полів також є парним числом.

Отже, ми маємо парну суму координат для чорних полів, що відповідає парному числу турів, розташованих на чорних полях.