Question

Найти общее решение дифференциального уравнения: (1 + x 2) dy – 2xy dx = 0

Answer 1

Ответ: у = с (1 + х²).

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение в полных дифференциалах. Давайте попробуем найти его общее решение.

Уравнение: (1 + x^2) dy - 2xy dx = 0

Для начала, давайте перепишем уравнение так, чтобы выразить dy и dx:

dy = 2xy dx / (1 + x^2)

Теперь давайте разделим обе стороны на 2xy и заметим, что это подобно выражению для производной ln(1 + x^2):

(1/2xy) dy = dx / (1 + x^2)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/2xy) dy = ∫dx / (1 + x^2)

Интегралы слева и справа могут быть вычислены:

(1/2) ∫(1/y) dy = ∫(1/(1 + x^2)) dx

(1/2) ln|y| = arctan(x) + C1

Где C1 - произвольная постоянная интеграции.

Теперь решим уравнение относительно y:

ln|y| = 2 * (arctan(x) + C1)

y = ± e^(2 * (arctan(x) + C1))

Учитывая, что e^(2C1) также является константой, переименуем её в новую постоянную C:

y = C * e^(2 * arctan(x))

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

y = C * e^(2 * arctan(x))

где C - произвольная постоянная.