Question

Население города возрастает пропорционально количеству его жителей в любое время (t). Если изначально население составляло 10,000 и удвоилось за 15 лет, через сколько лет население утроится? (решить с помощью дифференциального уравнения с разделяющимися переменными) Большое спасибо!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое описывает зависимость между населением города (N) и временем (t).

Известно, что население города возрастает пропорционально количеству его жителей в любое время t. Мы можем записать это в виде:

dN/dt = k * N,

где k - постоянная пропорциональности.

Дано, что изначально население составляло 10,000, то есть N(0) = 10,000. Также известно, что население удвоилось за 15 лет, то есть N(15) = 2 * N(0) = 2 * 10,000 = 20,000.

Для решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе части:

∫(1/N) dN = ∫k dt.

Интегрируя, получаем:

ln|N| = kt + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования, а ln|N| обозначает натуральный логарифм абсолютной величины N.

Теперь мы можем решить уравнение относительно k и C, используя известные значения:

ln|20,000| = k * 15 + C.

Также у нас есть начальное условие N(0) = 10,000, которое можно использовать для определения C:

ln|10,000| = k * 0 + C.

ln|10,000| = C.

Теперь мы можем найти k, вычтя последнее уравнение из первого:

ln|20,000| - ln|10,000| = k * 15.

ln(20,000 / 10,000) = k * 15.

ln(2) = 15k.

k = ln(2) / 15.

Теперь, чтобы найти время t, через которое население утроится (N(t) = 2 * N(0)), мы можем использовать уравнение:

ln|N(t)| = kt + C.

Заменяя k и C на найденные значения, получим:

ln|2 * 10,000| = (ln(2) / 15) * t + ln|10,000|.

ln(20,000) = (ln(2) / 15) * t + ln(10,000).

Чтобы найти t, можно решить это уравнение численно или с помощью символьных вычислений в программе или калькуляторе. Результат будет примерным, так как мы использовали округленные значения исходных данных.

Примечание: в данном ответе мы использов