Question

Докажите что 1+2+3+...n=n(n+1)÷2

Answer 1

Ответ:

Решение по методу математической индукции

Пошаговое объяснение:

Первый пункт: проверяем базу индукции:

1=(1*(1+1))/2 получаем что 1=(1*2)/2 <=> 1=1 База индукции выполняется.

Второй шаг, предполагаем, что это верно для любого k=n, то есть

1+2+...+k=k(k+1)/2, тогда доказываем, что формула верна и для k+1, то есть в формулу вместо k везде подставляем k+1, получаем:

1+2+...+k+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2

так как по нашему предположению, 1+2+...+k=k(k+1)/2 верно, то в 1+2+...+k+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2 вместо 1+2+...+k можно подставить то, чему это равно, то есть k(k+1)/2, почему можем, я выделила жирным. подставляем в 1+2+...+k+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2 вместо 1+2+...+k  -  k(k+1)/2, тогда получается

k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)((k+1)+1)/2 а теперь проверяем, равны ли обе части равенства, или нет, если равны, то все хорошо, равенство доказано, а если не равны, то предположение не верно и доказано обратное.

раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю справа, получаем

(k^2+3k+2)/2

а теперь раскрываем скобки слева, получаем

(k^2+3k+2)/2

это то же самое что и справа. Из того, что получили слева и справа равные выражения, и из того, что формула верна для n=k, получили что она равна и для k+1, а следовательно, она верна для любого натурального k. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство по индукции:

Шаг 1: Базовый случай Для n = 1: Левая сторона: 1 Правая сторона: 1(1 + 1) / 2 = 1 Очевидно, что базовый случай выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что утверждение верно и для k + 1: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) / 2

Мы знаем из индукционного предположения, что: 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2

Добавим (k + 1) к обеим сторонам: 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = k(k + 1) / 2 + (k + 1)

Общий знаменатель: k(k + 1) + 2(k + 1) = k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2 = (k + 1)(k + 2)

Разделим обе стороны на 2: (k + 1)(k + 2) / 2 = (k + 1)(k + 2) / 2

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k + 1. Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, доказано равенство 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2 по индукции.