Question

Уравнение (x-1)(x+a)(x+2a)=0 имеет ровно 2 корня. Найдите а при котором сумма этих корней будет наименьшей.

Answer 1

(x-1)(x+a)(x+2a) = 0

----------------------------

[ x - 1 = 0

[ x + a = 0

[ x + 2a = 0

---------------------------

[ x = 1

[ x = -a

[ x = -2a

Рассмотри три случая, когда уравнение будет иметь ровно два корня :

1) -a = 1 => a = -1

2) -2a = 1 => a = -0.5

3) -a = -2a => a = 0

--------------------------------

Подставим в уравнение :

1)

(x - 1) (x - 1) (x - 2) = 0

x1 = 1 , x2 = 2 => x1 + x2 = 3 -  наибольшая сумма

2)

(x - 1) ( x - 0.5) ( x - 1)

x1 = 1, x2 = 0.5 => x1 + x2 = 1.5

3)

(x - 1) (x + 0) (x + 0) = 0

x1 = 1, x2 = 0 => x1 + x2 = 1 - наименьшая сумма

Ответ : при а = 1

Answer 2

Чтобы найти значение a, при котором сумма корней будет наименьшей, нужно рассмотреть производную суммы корней и найти её минимум.

Обозначим корни уравнения (x - 1)(x + a)(x + 2a) = 0 как x1, x2 и x3.

По свойствам многочленов, сумма корней равна противоположной коэффициента перед x^2, деленному на коэффициент перед x^3. В данном случае это -1/(1*a) = -1/a.

Теперь найдём производную по a и приравняем её к нулю:

d/d(a)(-1/a) = 1/a^2 = 0

Из этого уравнения следует, что a^2 = 0. Так как a - это вещественное число, уравнение a^2 = 0 не имеет решений. Это означает, что нет такого значения a, при котором сумма корней будет наименьшей.

Таким образом, сумма корней не зависит от значения a.