Question

Завдання 33. Записали два числа. До першого додали друге отримали трете. До другого додали третє І отримали четверте і т.д. Чому дорівнює сума шести написаних чисел, якщо пяте дорівнює 7?Завдання 34. 25 школярів стоять у ряд. Школяр, що стоїть з лівого боку, вищий за школяра, що стоїть зправого боку. Доведіть, що в школяр, у якого лівий сусід буде вищим від правого.Завдання 35. На дошці написано число 12. Кожну хвилину число або множать, або ділять або на 2, або на3, а результат записують на дошку замість попереднього числа. Доведіть, що число, яке буде записане надошці рівно за годину, уде дорівнювати 54.​

Answer 1

Завдання33
Розв'язання. Позначимо через а1, а2, а3, а4, а5, а6 числа, про які сказано в умові задачі. Виразимо всі ці числа через а1 і а2:

а3 = а1 + а2;
а4 = а2 + а3 = а1 + 2а2;
а5 = а3 + а4 = 2а1 + 3а2;
а6 = а4 + а5 = 3а1 + 5а2.

Маємо:

а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 =
= (1 + 1 + 1 + 2 + 3) · а1 + (1 + 1 + 2 + 3 + 5) · а2 =
= 8а1 + 12а2 = 4 · (2а1 + 3а2) = 4а5 = 4 · 7 = 28.
Відповідь: 28.
Завдання 34
Доведення (методом від супротивного). Припустимо, що у кожного школяра правий сусід не нижче від лівого. Тоді школярі на непарних місцях стоять у порядку неспадання, якщо рахувати зліва направо. Звідси випливає, що самий правий школяр не нижчий від самого лівого. Отримана суперечить з умовою задачі свідчить про хибність припущення.
Завдання 35

Доведення. У результаті виконання вказаних дій через t хвилин можна отримати число 2хt · 3хt. Тут t — кількість хвилин від написання першого числа, х0 = 2, y0 = 1, бо 12 = 22 · 31. Для кожного невід'ємного цілого t справджується одне з двох висловлювань:

або хt + 1 = хt ± 1 i yt + 1 = yt;
або хt + 1 = хt i yt + 1 = yt ± 1.
Отже, парність суми хt + yt змінюється щохвилини. Вона змінюється через непарну кількість хвилин, а через парну кількість хвилин стає такою самою, якою була спочатку.

х0 + y0 = 2 + 1 = 3 — непарне число.

х60 + y60 також має бути непарним, тому не може дорівнювати 4 = 1 + 3.

Отже, через 60 хвилин на дошці буде записано число, відмінне від 54 = 21 · 33.

Answer 2

Завдання 33: Давайте розглянемо кожен крок окремо. Позначимо числа, які записуються на кожному кроці:

1. Перше число: a
2. Друге число: b
3. Третє число: a + b
4. Четверте число: b + (a + b) = 2a + 2b
5. П'яте число: (a + b) + (2a + 2b) = 3a + 3b
6. Шосте число: (2a + 2b) + (3a + 3b) = 5a + 5b

Якщо п'яте число дорівнює 7 (за умовою), то ми можемо записати рівняння: 3a + 3b = 7

Тепер давайте врахуємо умову задачі: п'яте число дорівнює 7. Тобто, ми можемо записати ще одне рівняння: 3a + 3b = 7 3(a + b) = 7

Це означає, що сума перших двох чисел a + b дорівнює 7/3. Щоб знайти суму всіх шести чисел, можемо врахувати вираз для шостого числа:

5a + 5b = 5(a + b)

Ми знаємо, що a + b = 7/3, тому:

5(a + b) = 5 * (7/3) = 35/3

Таким чином, сума шести чисел дорівнює 35/3.

Завдання 34: Позначимо висоту лівого школяра, який стоїть зліва, як "L", а висоту школяра, який стоїть справа, як "R". За умовою завдання, ми маємо:

L > R

Доведемо, що існує школяр, у якого лівий сусід вищий за правого сусіда. Припустимо, що такого школяра немає. Тобто, для кожного школяра в ряду, його лівий сусід нижчий або такий самий, як його правий сусід:

L1 ≤ R1, L2 ≤ R2, L3 ≤ R3, ..., Ln ≤ Rn

Додамо всі нерівності разом:

L1 + L2 + L3 + ... + Ln ≤ R1 + R2 + R3 + ... + Rn

Але ми знаємо, що сума висот всіх школярів однакова, оскільки їх усього 25:

L1 + L2 + L3 + ... + Ln = R1 + R2 + R3 + ... + Rn

Таким чином, ми отримуємо:

L1 + L2 + L3 + ... + Ln ≤ L1 + L2 + L3 + ... + Ln

Це суперечить умові, тому наше припущення неправильне, і існує принаймні один школяр, у якого лівий сусід вищий за правого сусіда.

Завдання 35: Для того щоб довести, що число, яке буде записане на дошці за годину, дорівнює 54, ми можемо розглянути ряд операцій, які відбуваються кожну хвилину:

1. Поділити поточне число на 2, якщо воно парне.
2. Поділити поточне число на 3, якщо воно ділиться на 3.
3. Помножити поточне число на 2.

Починаючи з числа 12, ми можемо враховувати, які операції будуть виконані на кожному кроці:

1. 12 / 2 = 6
2. 6 / 3 = 2
3. 2 * 2 = 4

Таким чином, протягом перших трьох хвилин число на дошці становитиме 4.

Продовжуючи далі:

1. 4 / 2 = 2
2. 2 / 2 = 1
3. 1 * 2 = 2

Протягом наступних трьох хвилин число на дошці становитиме 2.

Виходячи з розглянутих операцій, ми бачимо, що на кожні три хвилини число на дошці зменшується удвічі, тобто воно поділяється на 2. Оскільки ми маємо годину, що складається з 60 хвилин, число на дошці зменшиться удвічі 20 разів (60 хвилин / 3 хвилини на кожну операцію).

Починаючи з 12 і поділяючи його на 2 двадцять разів, ми отримаємо:

12 /