Question

На дошці написано число 12. Протягом кожної хвилини число множать або ділять на 2 або на 3, і результат записують на дошку замість вихідного числа. Доведіть що число яке буде на дошці через годину не буде дорівнювати 54.​

Answer 1

12 = 2*2*3

54 = 2*3*3*3

Надо в итоге добавить в произведение две тройки и одну двойку.

Значит мы m раз умножали на 3, и m-2 раза делили на 3, и всего таких операций было 2m-2 - четное число. И всего операций всех было 60 - тоже четное число

Значит мы четное число раз умножали или делили на 2. Но тогда мы никак не можем изменить число двоек на 1. Мы можем изменить его только на четное число. на 0, на 2, на 4 и так далее.

Мы приходим к противоречию и вынуждены признать, что 54 получить за четное число операций нельзя.

Answer 2

Давайте подивимося на процес, як відбувається множення і ділення числа 12 на 2 і 3:

1 хвилина: 12 / 2 = 6 2 хвилина: 6 / 2 = 3 3 хвилина: 3 * 3 = 9 4 хвилина: 9 * 2 = 18 5 хвилина: 18 / 3 = 6 6 хвилина: 6 / 2 = 3 ...

Таким чином, ми можемо бачити, що число 12 чергується між числами 6, 3, 9, 18 і т.д., протягом кожної ітерації.

Оскільки 54 = 2 * 3 * 3 * 3, і всі інші числа, які з'являються під час процесу, будуть отримані шляхом множення або ділення на 2 або 3, то ми не зможемо отримати число 54 за таких умов.

Отже, після години числа на дошці будуть періодично чергуватися між 6, 3, 9, 18 і т.д., але число 54 не з'явиться.