Question

Кaк доказать, что число иррациональное?Может, формула какая-то?

Answer 1

Чаще всего методом от противного, не в смысле, фу, какой противный, а в смысле от противоположного. Предполагаем противоположное тому, что хотим доказать и приходим в противоречие с уже известным определением, либо аксиомой, либо теоремой..

Например, докажем, что  √2 - иррациональное. т.е. его нельзя представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное. Дробь р/q- несократимая.

Предположим, √2 - рациональное. тогда. его можно  представить в виде р/q, где р -целое, а q- натуральное . возведем в квадрат рациональное число.  тогда р² = 2q². Раз так, то  р² и р четные. т.е. р=2к; р² = 4к², 4к² = 2q², 2k² = q². Отсюда следует, что q² и q четные. Пришли к противоречию с тем,  что дробь р/q несократимая. Значит, то, что мы  предполагали, не верно, а верно то, что требовалось доказать. т.е. √2 - иррационально.

Answer 2

Ответ:

в картинке вроде все понятно

Answer 3

Доказательство иррациональности числа может зависеть от конкретного числа, которое вы хотите доказать как иррациональное. Однако, существует некоторое количество классических методов, которые можно использовать для доказательства иррациональности определенных чисел. Вот несколько примеров:

1. Метод от противного: Предположим, что число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0. Затем, используя свойства алгебры и арифметики, вы можете привести это предположение к противоречию, показав, что это приведет к неправильным или невозможным результатам.

2. Метод математической индукции: Индукционный метод может быть применен для доказательства иррациональности некоторых числовых последовательностей, таких как числа e или π. Этот метод требует использования свойств и характеристик последовательности, чтобы показать, что она не может быть представлена в виде дроби.

3. Метод приближений: Некоторые числа, такие как √2 или е, могут быть доказаны как иррациональные путем использования методов приближений. Вы можете предположить, что число рациональное, и затем показать, что существует некоторая неточность в приближении числа дробью, что приводит к противоречию.

4. Трансцендентность: Некоторые числа могут быть доказаны как иррациональные или даже трансцендентные (не являющиеся корнями любого полинома с целыми коэффициентами) с использованием более сложных методов, таких как теория трансцендентных чисел.

Пожалуйста, предоставьте конкретное число, которое вы хотите доказать как иррациональное, чтобы я мог предоставить более точное доказательство, если таковое имеется.