Question

Найдите наименьшее положительное решение уравнения cos²2x=(2+√3)/4 С объяснением пожалусто

Answer 1

(1+cos4x)/2=(2+√3)/4

2+2cos4x=2+√3;

cos4x=√3/2;

4x=±arccos(√3/2)+2πn; n∈Z; 4x=±π/6+2πn; n∈Z; x=±π/24+πn/2; n∈Z;

наименьшее положительное решение при n=0, х=π/24

Answer 2

Дано уравнение:

cos²(2x) = (2 + √3)/4

Чтобы найти наименьшее положительное решение этого уравнения, мы должны решить его аналитически. Воспользуемся тригонометрической тождеством:

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Применим это тождество к нашему уравнению:

2cos²(2x) - 1 = (2 + √3)/4

Упростим выражение:

2cos²(2x) = (2 + √3)/4 + 1 2cos²(2x) = (2 + √3 + 4)/4 2cos²(2x) = (6 + √3)/4

Далее, разделим обе части на 2:

cos²(2x) = (6 + √3)/8

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:

cos(2x) = ±√((6 + √3)/8)

Теперь найдем значение аргумента 2x, используя обратную функцию косинуса:

2x = ±cos^(-1)(√((6 + √3)/8))

Найденное значение может иметь несколько решений, поскольку функция косинуса имеет период 2π. Однако, мы ищем наименьшее положительное решение, поэтому рассмотрим только значения, удовлетворяющие этому условию.

Итак, чтобы найти наименьшее положительное решение, возьмем положительное значение:

2x = cos^(-1)(√((6 + √3)/8))

Теперь разделим обе части на 2:

x = (1/2)cos^(-1)(√((6 + √3)/8))

Вычислите выражение в скобках и получите числовое значение для x.