Question

В треугольнике АВС проведена средняя линия MN. Найдите отношение площадей треугольников MBN и АВС.

Answer 1

Ответ:

1/4

Пошаговое объяснение:

т.к. МN - средняя линяя => MN // AC и MN = 1/2 AC

Расм. ∆ MBN и ∆ ABC :

1) <В - общий

2) <BMN = <BAC (как накрест лежащие при MN // AC и секущей МС) => MN/AC = MB/AB = NB/BC = k => MB/AB = NB/BC = 1/2

По теорме отношения площадей (Sabc и Smbn) равна коэффициенту в квадрате => Smbn / Sabc = k² => Smbn / Sabc = 1/4

Answer 2

Отношение площадей треугольников MBN и ABC можно найти, используя отношение длин средних линий треугольников.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Поэтому, если MN - средняя линия треугольника ABC, то длина MN будет равна половине длины стороны AC:

MN = AC / 2

Теперь мы можем выразить отношение площадей треугольников MBN и ABC через отношение длин средних линий:

Площадь треугольника MBN / Площадь треугольника ABC = (1/2 * MB * MN) / (1/2 * AB * AC)

Здесь MB - длина стороны MB треугольника MBN, а AB - длина стороны AB треугольника ABC.

Так как MN = AC / 2, подставляем это значение:

Площадь треугольника MBN / Площадь треугольника ABC = (1/2 * MB * AC / 2) / (1/2 * AB * AC)

Сокращаем на 1/2 и AC:

Площадь треугольника MBN / Площадь треугольника ABC = MB / (2 * AB)

Таким образом, отношение площадей треугольников MBN и ABC равно MB / (2 * AB).