Question

Лодка должна пройти 15 км по течению реки и вернуться обратно не позже, чем через 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какой должна быть собственная скорость лодки? Необходимо подробное решение и ответ! Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

5-√29 ≤ v

Пошаговое объяснение:

S = 15км

Так как скорость течения реки 2 км/ч, а лодка плывёт по течению реки, значит река будет ускорять лодку на 2км/ч, т.е х+2. А на обратном пути будет убавлять скорость лодки на 2км/ч (х-2). Общее время - ≤3. Чтобы было легче решать, берем общее время за 3 часа, в конце можем просто знак поменять.

Можно составить таблицу:

S v t

по течению 15 х+2 } 3ч

против течения 15 х-2 }

Формула нахождения времени: t = S/t . Подставляем числа и составляем уравнение:

15/х+2 + 15/х-2 = 3

Решаем уравнение:

15(х-2) + 15(х+2)/(х-2)(х+2) = 3

15х-30+15х+30/х²-4 = 3

30х/х²-4=3

Решаем пропорцией:

3х²-12 = 30х

Сокращаем на 3 и переводим все в левую часть:

х²-10х-4=0

Д = 116

х1 = 10-√116/2 = 10-2√29/2 = 5 - √29

х2 = 10+√116/2 = 5 + √29

х1 нам не подходит, ответ не должен быть с отрицательным, поэтому берем значение х2.

В условие было сказано, что не позже, чем через 3 часа, это значит, что скорость лодки (v): 5+√29 ≤ v

Ответ: скорость лодки больше или равно 5+√29

Answer 2

Обозначим скорость лодки как $V$ км/ч. Также известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Когда лодка движется по течению (вниз по реке), её относительная скорость увеличивается на скорость течения. Следовательно, её скорость будет $V + 2$ км/ч.

Когда лодка движется против течения (вверх по реке), её относительная скорость уменьшается на скорость течения. Таким образом, её скорость будет $V - 2$ км/ч.

Путешествие вниз по реке составляет 15 км, и путешествие обратно вверх по реке также составляет 15 км. Обозначим время в часах, которое лодка тратит на путешествие вниз по реке, как $t_1$ часов, а время, которое она тратит на путешествие обратно вверх по реке, как $t_2$ часов.

Мы знаем, что общее время путешествия не должно превышать 3 часов, то есть:

$t_1 + t_2 \leq 3$

Теперь давайте рассмотрим расстояние, которое лодка проходит в каждом направлении.

Вниз по реке: $d_1 = (V + 2) \cdot t_1$ км Вверх по реке: $d_2 = (V - 2) \cdot t_2$ км

Поскольку расстояние вниз и расстояние вверх одинаковы (оба составляют 15 км), мы можем записать:

$d_1 = d_2$ $(V + 2) \cdot t_1 = (V - 2) \cdot t_2$

Теперь нам нужно учесть, что $t_1 + t_2 \leq 3$, так как общее время не должно превышать 3 часа.

Мы хотим найти значение $V$, которое удовлетворяет этим условиям.

Давайте решим уравнение относительно $t_1$ и подставим это значение в неравенство $t_1 + t_2 \leq 3$:

$(V + 2) \cdot t_1 = (V - 2) \cdot (3 - t_1)$ $Vt_1 + 2t_1 = 3V - 6 - 2Vt_1$ $3Vt_1 = 6 + 2t_1$ $t_1 = \frac{2}{3V - 2}$

Теперь подставим это значение обратно в $t_1 + t_2 \leq 3$:

$\frac{2}{3V - 2} + t_2 \leq 3$ $t_2 \leq 3 - \frac{2}{3V - 2}$

Мы знаем, что $t_2$ не может быть отрицательным, поэтому:

$3 - \frac{2}{3V - 2} \geq 0$ $\frac{2}{3V - 2} \leq 3$ $3V - 2 \geq \frac{2}{3}$ $3V \geq \frac{8}{3}$ $V \geq \frac{8}{9}$

Таким образом, собственная скорость лодки должна быть больше или равной $\frac{8}{9}$ км/ч.