Question

Вася написав 100 чисел від 1 до 100. Потім він викреслив усі числа, що стоять на непарних місцях. В новому ряду він знову викреслили всі числа, що стоять на непарних місцях, і т.д. Викреслювання тривало доти, поки було що викреслювати. Яке число було викреслено останнім?

Answer 1

Ответ:

64

Пошаговое объяснение:

1) Після першого разу залишилися числа: 2; 4; 6; 8; 10;  12; 14; 16; 18; 20;  22; 24; 26; 28; 30;  32; 34; 36; 38; 40;  42; 44; 46; 48; 50;  52; 54; 56; 58; 60;  62; 64; 66; 68; 70;  72; 74; 76; 78; 80;  82; 84; 86; 88; 90;  92;  94; 96; 98; 100.

2) Після другого викреслення чисел залишилися: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 80; 84; 88; 92; 96; 100.

3) Після третього викреслення чисел залишилися: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96.

4) Після четвертого викреслення чисел залишилися: 16; 32; 48; 64; 80; 96.

5) Після п'ятого викреслення чисел залишилися: 32; 64; 96.

6) Після шостого викреслення чисел залишилося: 64

Answer 2

Спочатку варто розглянути, які числа будуть викреслені після першого проходу. Видаляться числа на непарних місцях: 1, 3, 5, ..., 97, 99. Це всього 50 чисел. Залишаються на парних місцях: 2, 4, 6, ..., 98, 100.

На другому проході вже з ряду на парних місцях видаляться числа, що стоять на непарних місцях у цьому новому ряді. Тобто, з чисел 2, 6, 10, ..., 98 видаляться 6, 98.

На наступному проході з чисел, що залишилися (2, 10, 20, ..., 92), видаляється 10.

Цей процес триває доки є що видаляти, але числа, які залишилися, утворюють арифметичну прогресію з різницею 8 (8 - це різниця між непарними числами на парних місцях). Останній крок буде видаляти останнє число в цій прогресії.

Останнє число у цій арифметичній прогресії можна знайти за формулою: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d,$ де $a_n$ - останнє число, $a_1$ - перше число, $n$ - кількість чисел, $d$ - різниця між числами.

У нашому випадку $a_1 = 2$ (перше залишене число), $d = 8$ (різниця), а кількість чисел $n$ можна знайти, розділивши різницю від останнього числа арифметичної прогресії (92 - останнє залишене число) на різницю між числами $d$: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1.$

Підставляючи значення, отримаємо: $n = \frac{92 - 2}{8} + 1 = 12.$

Отже, останнє число в послідовності - це 92.