Question

До пораболи y=x²-2 у точці з абцисою x⁰=1 проведена дотична. Знайдіть точку перетину цієї дотичної з віссю Oy

Answer 1

$y = x^{2} -2$

$y' = 2x$

Касательная :

$y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

$y =1^{2} -2 +(2*1)(x-1) = -1+ 2x-2 = 2x-3$

Пересечение с осью Oy ( x = 0 )  :

$y = 2*0-3 = -3$

Ответ : (0 ; -3)

Answer 2

Для знаходження точки перетину дотичної до графіка функції y = x² - 2 з віссю Oy, спочатку знайдемо похідну від цієї функції, а потім визначимо рівняння дотичної лінії в точці x₀ = 1.

1. Знаходження похідної: y = x² - 2

Знайдемо похідну за x від цієї функції: y' = d/dx (x² - 2) y' = 2x

2. Знаходження рівняння дотичної: В точці x₀ = 1 похідна має значення: y'₀ = 2 * 1 = 2

Отже, нахил дотичної в точці x₀ = 1 дорівнює 2.

Рівняння дотичної лінії в загальному вигляді має вигляд: y - y₀ = m(x - x₀),

де m - нахил дотичної, а (x₀, y₀) - точка дотику.

Підставимо відомі значення: y - y₀ = 2(x - 1).

3. Знаходження точки перетину з віссю Oy: Для знаходження точки перетину з віссю Oy потрібно підставити x = 0 у рівняння дотичної лінії:

y - y₀ = 2(x - 1), y = 2(0 - 1) + y₀, y = -2 + y₀.

Отже, точка перетину дотичної з віссю Oy має координати (0, y₀ - 2).

Залишилося лише знайти значення y₀ (y-координати точки дотику). Підставивши x₀ = 1 у вихідну функцію, отримаємо:

y₀ = x₀² - 2 = 1² - 2 = -1.

Отже, y₀ = -1.

Значить, координати точки перетину з віссю Oy дорівнюють (0, -3).