Question

Описать способ решения подобных уравнений, как определить область значения после замены переменой ? , если (Найти множество значений)

Answer 1

Очевидно что точка (x;y) лежит на окружности радиусом корень из двух. Положение точки на окружности определяется углом альфа, так что

$x = \sqrt{2}\cos\alpha\\y = \sqrt{2}\sin\alpha$

Подставим это в выражение

$xy(3-2x^2)(3-2y^2) = 2\sin\alpha\cos\alpha(3-4\cos^2\alpha)(3-4\sin^2\alpha) = \\=\sin 2\alpha(3-2(1+\cos 2\alpha))(3-2(1-\cos2\alpha))=\\=\sin2\alpha(1-2\cos2\alpha)(1+2\cos2\alpha) = \\=\sin2\alpha(1-4\cos^2 2\alpha) = \sin 2\alpha(4\sin^2 2\alpha -3) = -\sin6\alpha$

Очевидно синус не бывает больше 1 по модулю, поэтому множество значений это отрезок от -1 до 1

Answer 2

Решение уравнений и определение области значений после замены переменных – это основные задачи в алгебре и анализе. Давайте разберемся с этим пошагово.

1. Решение уравнений:

Для начала, давайте рассмотрим, как решать уравнения. Обычно, вам дано уравнение вида:

$f(x) = g(x),$

где $f(x)$ и $g(x)$ – это выражения в зависимости от переменной $x$. Чтобы найти решение этого уравнения, вам нужно найти все значения $x$, которые делают $f(x)$ равным $g(x)$.

2. Замена переменных:

Иногда, для упрощения решения уравнения, полезно ввести новую переменную. Пусть у вас есть уравнение:

$f(x) = g(x).$

Вы можете представить, что $x$ заменяется другой переменной $u$ с помощью некоторой функции:

$x = h(u).$

Теперь вы можете заменить $x$ в уравнении $f(x) = g(x)$ на $u$ с использованием $h(u)$:

$f(h(u)) = g(h(u)).$

3. Область значений после замены переменных:

Когда вы проводите замену переменных, важно также понимать, как это влияет на область значений переменных и функций.

После замены переменной $x$ на $u$ с помощью $x = h(u)$, область значений $u$ будет зависеть от области значений $x$ и функции $h(u)$. Вы должны обратить внимание на следующее:

• Прообраз функции $h$: Это множество значений переменной $u$, для которых функция $h(u)$ действительна. Оно определяет, из какой области значений можно выбирать значения для $u$.

• Область значений $x$: Это множество значений, которые может принимать переменная $x$ в исходном уравнении $f(x) = g(x)$.

• Область значений $f$ и $g$: Это множество значений, которые могут принимать функции $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

После проведения замены переменных, вы должны учитывать ограничения на $u$, которые могут быть вызваны областью значений $h(u)$, а также понимать, как это повлияет на область значений функций $f(h(u))$ и $g(h(u))$.

Зная множество значений переменной $u$ и выполнив замену, вы можете анализировать область значений новых функций и определить область значений, в которой исходное уравнение может быть удовлетворено.

Обратите внимание, что выбор подходящей замены переменных и правильное анализирование области значений требуют хорошего понимания функций и алгебраических свойств.