Question

Решить неравенство (x-2)(x+4)/x-6>0 мой вариант

Answer 1

(x-2)(x+4)/(x-6)>0 равносильно неравенству (x-2)(x+4)*(x-6)>0

Корнями левой части разобьем на интервалы числовую прямую и решим неравенство методом интервалов

_____-4_______2________6__________

-                   +               -             +

х∈(-4;2)∪(6;+∞)

Answer 2

Для решения неравенства $\frac{(x-2)(x+4)}{x-6} > 0$, мы должны выяснить интервалы, в которых это неравенство выполняется.

1. Найдем значения $x$, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

   Числитель: $(x-2)(x+4) = 0$ Решение: $x = 2$ и $x = -4$

   Знаменатель: $x - 6 = 0$ Решение: $x = 6$

2. Рассмотрим интервалы между этими значениями $x$ и проверим знак выражения $\frac{(x-2)(x+4)}{x-6}$ на каждом из этих интервалов.

   a) Интервал $(-\infty, -4)$: Выберем $x = -5$, который лежит в этом интервале. Подставим $x = -5$ в выражение: $\frac{(-5-2)(-5+4)}{-5-6} = \frac{-21}{-11} = \frac{21}{11} > 0$

   b) Интервал $(-4, 2)$: Выберем $x = 0$, который лежит в этом интервале. Подставим $x = 0$ в выражение: $\frac{(0-2)(0+4)}{0-6} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} > 0$

   c) Интервал $(2, 6)$: Выберем $x = 4$, который лежит в этом интервале. Подставим $x = 4$ в выражение: $\frac{(4-2)(4+4)}{4-6} = \frac{16}{-2} = -8 < 0$

   d) Интервал $(6, \infty)$: Выберем $x = 7$, который лежит в этом интервале. Подставим $x = 7$ в выражение: $\frac{(7-2)(7+4)}{7-6} = \frac{45}{1} = 45 > 0$

Итак, неравенство $\frac{(x-2)(x+4)}{x-6} > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(6, \infty)$.