Question

∫x(1-2x)^3dx Помогите срочно надо

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте проинтегрируем данное выражение:

∫x(1-2x)^3dx

Для интегрирования этой функции можно использовать метод интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям выглядит так:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - это выбранные функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, давайте выберем: u = x => du = dx, dv = (1-2x)^3dx => v = ∫(1-2x)^3dx.

Дифференцируем u и интегрируем dv: du = dx, v = ∫(1-2x)^3dx = -1/2 * ∫(2x-1)^3dx.

Теперь мы можем применить метод интегрирования по частям:

∫x(1-2x)^3dx = uv - ∫v du = x * (-1/2 * ∫(2x-1)^3dx) - ∫(-1/2 * ∫(2x-1)^3dx) dx = -1/2 * x * (-1/8) * (2x-1)^4 - (-1/2) * (-1/2) * ∫(2x-1)^3dx = 1/16 * (2x-1)^4 + 1/4 * ∫(2x-1)^3dx.

Теперь давайте интегрируем оставшийся интеграл ∫(2x-1)^3dx. Для этого можно воспользоваться разложением бинома:

∫(2x-1)^3dx = ∫(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1)dx = 8/4 * x^4 - 12/3 * x^3 + 6/2 * x^2 - x + C = 2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь подставляем полученное значение в предыдущее выражение:

1/16 * (2x-1)^4 + 1/4 * (2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C) = 1/16 * (16x^4 - 32x^3 + 16x^2 - 8x + 1) + 1/4 * (2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - x + C) = 1x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 3x + 1/16 + 1/4 * C = x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 3x + 1/16 + C/4.

Таким образом, интеграл ∫x(1-2x)^3dx равен: x^4 - 6x^3 + 5x^2 - 3x + 1/16 + C/4 + Константа, где C - константа интегрирования.