Question

25 БАЛЛОВ Сфера задана уравнением x² + y² + z² - 4x + 6y = 36. а) Найдите координаты центра и радиус сферы. б) Каково взаимное расположение сферы и плоскости x = −6? С РЕШЕНИЕМ

Answer 1

Приводим к виду:

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=36-9-4

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=23

(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=(sqrt(23))^2

Радиус сферы sqrt(23 (квадратный корень из 23)

Центр сферы имеет координаты (2, -3, 0)

При х=-6  (y+3)^2+z^2=23-64<0 , что невозможно. Значит сфера не пересекает и не касается плоскости.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей поэтапно:

а) Найдем координаты центра и радиус сферы. Уравнение сферы дано в общем виде:

x² + y² + z² - 4x + 6y = 36

Для начала, давайте преобразуем уравнение, выделив квадратичные члены по x и y:

(x² - 4x) + (y² + 6y) + z² = 36

Теперь завершим квадраты, добавив и вычитая необходимые константы для завершения квадратов по x и y:

(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) + z² = 36 + 4 + 9 (x - 2)² + (y + 3)² + z² = 49

Теперь у нас есть уравнение в канонической форме сферы:

(x - 2)² + (y + 3)² + z² = 7²

Из этого уравнения видно, что центр сферы находится в точке (2, -3, 0), а радиус равен 7.

б) Теперь давайте определим взаимное расположение сферы и плоскости x = -6. Плоскость x = -6 — это вертикальная плоскость, параллельная плоскости yz и находящаяся на расстоянии 6 единиц слева от начала координат.

Центр сферы находится в точке (2, -3, 0), а плоскость x = -6 находится на расстоянии 2 - (-6) = 8 единиц от центра сферы по оси x. Таким образом, сфера целиком находится справа от плоскости x = -6. Радиус сферы равен 7, что больше, чем расстояние до плоскости x = -6 (8), следовательно, сфера не пересекает и не касается этой плоскости.

В итоге, сфера находится полностью справа от плоскости x = -6 и не имеет с ней никакого пересечения или касания.