Question

Решите пожалуйста уравнение arctg3x+5arcctg=2 пи

Answer 1

Argrt*(3x+5c) что такое 2 пи напиши как надо чтоб я до конца решила пока такое ответ без 2 пи

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Уравнение: $\arctan(3x) + 5 \cdot \text{arccot}(x) = 2\pi$

Прежде чем начать, давайте выразим $\text{arccot}(x)$ через $\arctan(x)$, так как это более удобно:

$\text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$\arctan(3x) + 5 \cdot \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right) = 2\pi$

Раскроем скобки:

$\arctan(3x) + \frac{5\pi}{2} - 5 \cdot \arctan(x) = 2\pi$

Перенесем все слагаемые с $\arctan(x)$ на одну сторону уравнения:

$\arctan(3x) - 5 \cdot \arctan(x) = 2\pi - \frac{5\pi}{2}$

$\arctan(3x) - 5 \cdot \arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности аргументов тангенсов:

$\arctan(p) - \arctan(q) = \arctan \left( \frac{p - q}{1 + pq} \right)$

Применим это тождество:

$\arctan(3x) - \arctan(x) = \arctan \left( \frac{3x - x}{1 + 3x^2} \right) = \arctan \left( \frac{2x}{1 + 3x^2} \right)$

Теперь уравнение принимает вид:

$\arctan \left( \frac{2x}{1 + 3x^2} \right) = -\frac{\pi}{2}$

Так как $\arctan$ принимает значения только в интервале $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, данное уравнение не имеет решений, так как левая сторона равенства не может быть равна $-\frac{\pi}{2}$.