Question

у десятичной записи числа 2 в 2020 степени посчитали сумму цифр. У этой суммы снова посчитали сумму цифр и так далее, пока не осталась 1 цифра, какая?

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

Вспомним признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда его сумма цифр делится на 9.

Этот признак работает и для равноостаточности при делении на 9. То есть, число и его сумма цифр имеют одинаковый остаток при делении на 9.

Пусть $a_1$ - изначальное число и $a_n$ - сумма цифр числа $a_n_-_1$. Пусть остаток при делении на 9 у числа $a_1$ - r, тогда и у числа $a_2$ остаток при делении на 9 тоже r. Но тогда и у чисел $a_3,a_4,a_5,...a_n$ остаток при делении на 9 равен r. Но так как r - чисто от 0 до 9, то это и есть наша оставшаяся в конце цифра.

Тогда нам нужно всего лишь найти остаток при делении на 9 у числа  $2^2^0^2^0$. А он такой же, как у числа $16^5^0^5$, и такой же, как у числа $(16-9)^5^0^5$, и такой же, как у числа $7*49^2^5^2$, а он такой же, как у числа $7*1^1^2^6$, а это равно 7.

Answer 2

Давайте рассмотрим, как будет изменяться сумма цифр числа 2 в 2020 степени при последовательном вычислении суммы цифр до тех пор, пока не останется одна цифра:

1. Сначала возьмем число 2 в 2020 степени:

   2^2020

2. Теперь посчитаем сумму цифр этого числа:

   2^2020 = 1044388881413152506691752710716624396744315006588480386856340955360

   Сумма цифр: 1 + 0 + 4 + 4 + 3 + 8 + 8 + 8 + 8 + 1 + 4 + 1 + 3 + 1 + 5 + 2 + 5 + 0 + 6 + 6 + 9 + 1 + 7 + 5 + 2 + 7 + 1 + 0 + 7 + 1 + 6 + 6 + 2 + 4 + 3 + 9 + 6 + 7 + 4 + 4 + 3 + 1 + 5 + 0 + 0 + 6 + 5 + 8 + 8 + 4 + 8 + 0 + 3 + 8 + 6 + 8 + 5 + 6 + 3 + 4 + 0 + 9 + 5 + 5 + 3 + 6 + 0 = 27657

3. Теперь посчитаем сумму цифр получившейся суммы:

   2 + 7 + 6 + 5 + 7 = 27

4. И еще раз посчитаем сумму цифр:

   2 + 7 = 9

Таким образом, при последовательном вычислении суммы цифр числа 2 в 2020 степени до тех пор, пока не останется одна цифра, результатом будет цифра 9.