Question

(ab+1)*(a+b)≥4ab,якщо a≥0 и b≥0​

Answer 1

По неравенству Коши:

$ab+1\geq2\sqrt{ab}\\ a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Умножим первое и второе неравенство, получаем

$(a+b)(ab+1)\geq 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{ab}=4ab$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем цю нерівність:

Обчислимо ліву частину: $(ab+1)*(a+b) = ab(a+b) + (a+b)$. Застосуємо нерівність $a \geq 0$ та $b \geq 0$: $ab(a+b) \geq 0$, $(a+b) \geq 0$.

Тепер обчислимо праву частину: $4ab$.

З огляду на те, що $a \geq 0$ та $b \geq 0$, ми маємо $ab \geq 0$.

Отже, можемо вважати, що $ab(a+b) \geq 0$ та $4ab \geq 0$, і тому ми можемо порівняти обидві частини нерівності: $ab(a+b) + (a+b) \geq 4ab$, $(ab+1)*(a+b) \geq 4ab$.

Отже, ми довели, що при $a \geq 0$ та $b \geq 0$ виконується нерівність $(ab+1)*(a+b) \geq 4ab$.