Question

Прямая делит одну диагональ параллелограмма в отношении 1 : 2 , другую - в отношении 1 : 3 . В каком отношении эта прямая делит каждую его сторону ?​

Answer 1

△AFE~△CFH  (по накрест лежащим углам при параллельных)

AE/CH =AF/FC =1/2

△BGH~△DGE

BH/DE =BG/GD =1/3

AE=x, CH=2x, BH=y, DE=3y

AE+DE=BH+CH => x+3y =y+2x => x=2y

AE/DE =x/3y =2y/3y =2/3

BH/CH =y/2x =y/4y =1/4

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим вершины параллелограмма и точку пересечения прямой с его диагоналями. Пусть A и C - это вершины параллелограмма, которые соединены первой диагональю (или стороной), а B и D - вершины, соединенные второй диагональю (или стороной). Пусть E - точка пересечения прямой с первой диагональю, а F - точка пересечения прямой с второй диагональю.

Из условия задачи известно следующее:

1. Прямая делит первую диагональ AC в отношении 1:2, что означает, что AE = 1/3 * AC и CE = 2/3 * AC.

2. Прямая делит вторую диагональ BD в отношении 1:3, что означает, что BF = 1/4 * BD и DF = 3/4 * BD.

Теперь давайте рассмотрим вертикальные треугольники AEF и CEF:

В треугольнике AEF:

• AE = 1/3 * AC (из условия)
• EF - это часть прямой, которая находится между диагоналями AC и BD.
• AF - это часть прямой, которая находится между вершинами A и B параллелограмма.

Аналогично, в треугольнике CEF:

• CE = 2/3 * AC (из условия)
• EF - это та же часть прямой, что и в треугольнике AEF.
• CF - это часть прямой, которая находится между вершинами C и D параллелограмма.

Теперь давайте рассмотрим соотношения сторон в треугольниках AEF и CEF:

В треугольнике AEF:

• AE/EF = 1/3 * AC / EF (делаем замену AE и CE из условия)
• AF/EF = AF / EF (так как это отрезки на прямой)

В треугольнике CEF:

• CE/EF = 2/3 * AC / EF (делаем замену CE и AE из условия)
• CF/EF = CF / EF (так как это отрезки на прямой)

Обратите внимание, что отношения AE/EF и CE/EF в треугольниках AEF и CEF одинаковы, так как EF - это общая сторона. Таким образом, соотношения сторон AF/EF и CF/EF также будут одинаковыми.

Итак, прямая делит каждую сторону параллелограмма в одинаковом отношении.