Question

Докажите 1+4+7+10+...+(3n-2)=n/2(n+2)

Answer 1

Слева в равенстве это ни что иное как арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разность прогрессии d = 4 - 1 = 3;

$a_n=3n-2$

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\dfrac{1+3n-2}{2}\cdot n=\dfrac{3n-1}{2}\cdot n$

Answer 2

Докажем данное равенство по математической индукции.

1. Базовый случай: При n = 1 Левая сторона: 1 Правая сторона: (1/2)(1 + 2) = 1

Обе стороны равны, когда n = 1.

2. Индукционное предположение: Предположим, что равенство верно для некоторого k, то есть: 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) = (k/2)(k + 2)

3. Индукционный шаг: Докажем, что равенство верно для k + 1. Добавим следующее слагаемое (3(k+1) - 2) к левой стороне: 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) + (3(k+1) - 2)

По индукционному предположению: 1 + 4 + 7 + 10 + ... + (3k - 2) = (k/2)(k + 2)

Теперь добавим (3(k+1) - 2) к обеим сторонам: (k/2)(k + 2) + 3(k + 1) - 2

Распишем правую сторону: (k^2/2) + (k/2) + 3k + 3 - 2 (k^2/2) + (k^2/2) + (3k + 1)

Упростим: k^2 + 3k + 1

Теперь выразим правую сторону через (k+1): (k+1)/2 * ((k+1) + 2) (k+1)/2 * (k^2 + 3k + 3)

Упростим: (k^3 + 3k^2 + 3k + k^2 + 3k + 3)/2 (k^3 + 4k^2 + 6k + 3)/2

Сравнивая это с левой стороной, видим, что получилось то же самое выражение. Таким образом, равенство верно и для k + 1.

Итак, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных n.