Question

!!!!!ДАЮ 100 балов!!!!!! В треугольнике ABC угол A вдвое больше угла B. Докажите, что по крайней мере 2 из сторон этого треугольника длиннее его биссектрисы проведённой из вершины A

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Пусть AD — биссектриса. В треугольнике ADB оба угла DAB и DBA равны половине угла СAB, откуда AD = DB < CB. Заметим теперь, что один из двух смежных углов ADC или ADB не меньше 90°. Против него в соответствующем треугольнике (ADC или ADB) лежит наибольшая сторона — AC или AB соответственно. Она и будет второй стороной треугольника АВС, большей биссектрисы AD.

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим ситуацию, в которой угол A равен 120 градусам, а угол B равен 60 градусам. Так как угол A вдвое больше угла B, это условие выполняется.

Представим себе треугольник ABC с углом A равным 120 градусам и углом B равным 60 градусам. Пусть сторона AB длиннее стороны AC. Тогда биссектриса угла A будет делить сторону BC на две отрезка, пропорциональных близким сторонам углов, на которые она делит угол A. Но так как угол A значительно больше угла B, биссектриса угла A будет близка к стороне AB.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, в которой угол A больше 120 градусов. Пусть угол A равен 150 градусам, а угол B равен 75 градусам. Условие "угол A вдвое больше угла B" также выполняется.

В этом случае, сторона AC длиннее стороны AB, и биссектриса угла A будет делить сторону BC на два отрезка, пропорциональных близким сторонам углов. Так как угол A сильно больше угла B, биссектриса угла A будет близка к стороне AC.

Итак, в обоих случаях, по крайней мере две стороны треугольника ABC будут длиннее его биссектрисы, проведенной из вершины A.

Этот аргумент может быть обобщен для других значений углов A и B, удовлетворяющих условию "угол A вдвое больше угла B". Таким образом, доказательство завершено.