Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см,а сумма катетов равна 17 см.Найти площадь треугольника.​

Answer 1

Ответ:

30 см²  

Пошаговое объяснение:

а и b - катеты; с - гипотенуза;

по теореме Пифагора:  

а²+b²=13²=169 - 1 уравнение

по условию задания: а+b=17  

возведем в квадрат обе части уравнения:

(а+b)²=17²

a²+b²+2ab=289  - 2 уравнение

из правой и левой частей второго уравнения вычтем правую и левую части первого уравнения:  

a²+b²+2ab-a²-b²=289-169

2ab=120  

ab=60

Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то S=ab/2 = 60/2 = 30 см²  

Answer 2

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Известно, что $c = 13$ см и $a + b = 17$ см.

Сначала мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы выразить один из катетов через другой: $c^2 = a^2 + b^2$

Подставив известные значения, получаем: $13^2 = a^2 + b^2$ $169 = a^2 + b^2$

Теперь мы знаем, что $a + b = 17$, таким образом, можно выразить, например, $b$ через $a$: $b = 17 - a$

Теперь подставим это выражение для $b$ в уравнение $a^2 + b^2 = 169$: $a^2 + (17 - a)^2 = 169$

Раскроем скобки: $a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169$

Соберем все $a$-термы в одну часть уравнения: $2a^2 - 34a + 120 = 0$

Разделим обе стороны на 2: $a^2 - 17a + 60 = 0$

Это квадратное уравнение можно разложить на множители: $(a - 12)(a - 5) = 0$

Из этого уравнения следует, что $a = 12$ или $a = 5$.

Если $a = 12$, то $b = 17 - a = 17 - 12 = 5$. Если $a = 5$, то $b = 17 - a = 17 - 5 = 12$.

Таким образом, у нас есть два варианта длин катетов: $a = 12, b = 5$ и $a = 5, b = 12$. Оба варианта соответствуют одному и тому же треугольнику с гипотенузой $c = 13$.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой для площади прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Для первого варианта ($a = 12, b = 5$): $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$

Для второго варианта ($a = 5, b = 12$): $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$

Таким образом, площадь треугольника равна $30$ квадратным сантиметрам.