Question

Найдите наименьшее значение функции y=2x^3-3x^2+5 на отрезке [0.5;2]

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки экстремума функции

Берем производную от функции

y' = (2x3+3x2+2)' = 6x2+6x

Приравняем производную к нулю

6x2+6x = 0

x(6x–6) = 0 ⇒ x=0 и x=1

x=0 и 1 – это точки экстремума функции

2) Подставим границы отрезка и точки экстремума в функцию

y(–2) = 2·(–2)3+3·(–2)2+2 = –2 (наименьшее)

( надеюсь верно)

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном интервале [0.5, 2], необходимо найти критические точки функции внутри этого интервала и сравнить значения функции в этих точках, а также на концах интервала.

1. Найдем производную функции y = 2x^3 - 3x^2 + 5: y' = 6x^2 - 6x.

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 6x^2 - 6x = 0, 6x(x - 1) = 0.

   Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = 1.

3. Теперь оценим значения функции в найденных критических точках и на концах интервала [0.5, 2]:

   • При x = 0: y(0) = 5.
   • При x = 0.5: y(0.5) = 2 * (0.5)^3 - 3 * (0.5)^2 + 5 ≈ 4.625.
   • При x = 1: y(1) = 2 * (1)^3 - 3 * (1)^2 + 5 = 4.
   • При x = 2: y(2) = 2 * (2)^3 - 3 * (2)^2 + 5 = 5.

Самое маленькое значение находится при x = 1, где y = 4. Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [0.5, 2] равно 4.