Question

Доказать: "Если сумма трех последовательных целых чисел есть число нечëтное, то их произведение делится на 24". Привести примеры.

Answer 1

Ответ:

10,11,12, 10+11+12=33(нечетное)

10×11×12= 1320

1320:24= 55 (делится)

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Пусть первое число из последовательных целых чисел будет $n$. Тогда следующие два числа будут $n+1$ и $n+2$, так как мы рассматриваем тройки последовательных чисел.

Сумма этих трех чисел будет: $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3.$

Давайте рассмотрим два случая:

1. Пусть сумма $3n + 3$ - нечётное число. Это означает, что $n$ чётное, так как только в этом случае сумма трёх чётных чисел будет нечётной. Тогда мы можем представить $n$ как $2k$, где $k$ - целое число. Тогда: $3n + 3 = 3(2k) + 3 = 6k + 3 = 3(2k + 1).$ Мы видим, что сумма является произведением 3 и какого-то другого целого числа $(2k + 1)$.

2. Пусть сумма $3n + 3$ - чётное число. Тогда $n$ - нечётное, так как сумма трёх нечётных чисел даёт чётную сумму. Тогда мы можем представить $n$ как $2k + 1$, где $k$ - целое число. Тогда: $3n + 3 = 3(2k + 1) + 3 = 6k + 6 = 6(k + 1).$ В данном случае сумма делится на 6.

В обоих случаях мы видим, что сумма $3n + 3$ делится на 3.

Теперь рассмотрим произведение трех чисел: $n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$.

Поскольку сумма $3n + 3$ делится на 3, это означает, что одно из трех последовательных чисел $n$, $n+1$, $n+2$ делится на 3. Таким образом, одно из этих чисел является кратным 3.

Кроме того, поскольку среди трех последовательных чисел всегда есть четное число, и одно из чисел делится на 3, то одно из трех чисел является четным и кратным 3.

Следовательно, произведение $n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$ делится на $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$.

Но мы также заметили, что среди трех последовательных чисел есть число, которое делится на 2 (четное число). То есть, по крайней мере, одно из чисел $n$, $n+1$ или $n+2$ является четным.

Таким образом, произведение $n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$ делится на 2.

Так как оно делится и на 18, и на 2, оно также делится на их наименьшее общее кратное, которое равно 18.

Наконец, $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 6 \cdot 3 = 2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 24$.

Следовательно, произведение $n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$ действительно делится на 24.

Примеры:

1. Если $n = 5$, то числа будут 5, 6 и 7. Их сумма 18 (чётная) делится на 3, и произведение 210 делится на 24.

2. Если $n = 10$, то числа будут 10, 11 и 12. Их сумма 33 (нечётная) делится на 3, и произведение 1320 делится на 24.