Question

Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точки М1 (х1, у1) и М2 (х2, у2) (таблица 3). Найти: 1) действительную и мнимую полуоси; 2) эксцентриситет. Построить гиперболу. x1=1 x2=3 y1=2 y2=7

Answer 1

Даны точки М1 (1; 2) и М2 (3; 7).

Подставим эти координаты в уравнение гиперболы.

$\frac{1}{a^2} -\frac{4}{b^2} =1,\\\frac{x}{y} \frac{9}{a^2} -\frac{49}{b^2} =1.$

Получаем уравнение $b^2-4a^2=9b^2-49a^2,\\b^2=\frac{45}{8} a^2.$

Замена: подставим значение b^2 в первое уравнение.

(1/a^2) -(4/(45/8)a^2) = 1.

Отсюда находим a^2 = 13/45, а b^2 = (45/8)*(13/45) = 13/8.

Ответ: уравнение гиперболы (x^2/(13/45)) - (y^2/(13/8)) = 1.

Параметры гиперболы и график приведены во вложении.

Answer 2

Для составления уравнения гиперболы, симметричной относительно осей координат, проходящей через точки M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2), мы можем использовать стандартную форму уравнения гиперболы:

(x - h)^2 / a^2 - (y - k)^2 / b^2 = 1,

где (h, k) - координаты центра гиперболы, a и b - действительная и мнимая полуоси соответственно.

Шаг 1: Находим координаты центра гиперболы (h, k): h = (x1 + x2) / 2 k = (y1 + y2) / 2

Подставляя значения из таблицы, получаем: h = (1 + 3) / 2 = 2 k = (2 + 7) / 2 = 4.5

Таким образом, центр гиперболы находится в точке C(2, 4.5).

Шаг 2: Находим действительную полуось a: a = |(x2 - x1) / 2| = |(3 - 1) / 2| = 1

Шаг 3: Находим мнимую полуось b: b = |(y2 - y1) / 2| = |(7 - 2) / 2| = 2.5

Шаг 4: Находим эксцентриситет e: e = √(a^2 + b^2) / a

Подставляя значения a и b: e = √(1^2 + 2.5^2) / 1 = √(1 + 6.25) = √7.25 ≈ 2.69

Таким образом, эксцентриситет гиперболы составляет примерно 2.69.

Уравнение гиперболы имеет вид: (x - 2)^2 / 1^2 - (y - 4.5)^2 / 2.5^2 = 1.

Теперь мы можем построить гиперболу, используя найденные значения центра, полуосей и эксцентриситета.