Question

Треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O, причем ∠AOB = 110°. Найди ∠C треугольника ABC. ​

Answer 1

В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O, причем ∠AOB = 110°. Найди ∠C треугольника ABC.

=================================

Решение:

Сумма углов ΔAOB:

∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°

∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠AOB = 180° - 110° = 70°

Центр вписанной в треугольник окружности расположен на пересечении биссектрис. Значит:

∠OAB=∠OAC;   ∠OBA=∠OBC

∠ABC + ∠BAC = 2∠OAB + 2∠OBA =

=2 · (∠OAB + ∠OBA) = 2 · 70° = 140°

Сумма углов ΔABC:

∠ABC + ∠BAC + ∠C = 180°

140° + ∠C = 180°

∠C = 40°

Ответ: 40°

Answer 2

Чтобы найти угол C треугольника ABC, нам понадобится использовать свойство вписанного угла.

В вписанном треугольнике угол, обращенный к дуге, равен половине этой дуги. То есть угол C, обращенный к дуге AB, будет равен половине угла между лучами AC и BC.

Поскольку центр окружности O находится в середине дуги AB, угол AOB равен 2C, поэтому C = (1/2) * ∠AOB.

Таким образом, чтобы найти угол C, нужно разделить угол AOB на 2:

C = (1/2) * ∠AOB C = (1/2) * 110° C = 55°

Итак, угол C треугольника ABC равен 55°.