Question

Найти все целые значения переменной n, при каждом из которых справедливо равенство (5n^2+4n+13)/(n+1)=11-8√(1-8n)

Answer 1

Ответ:

я если честно хз

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением:

$\frac{5n^2 + 4n + 13}{n + 1} = 11 - 8\sqrt{1 - 8n}$

Первым шагом мы можем избавиться от дроби, умножив обе стороны уравнения на $n + 1$:

$5n^2 + 4n + 13 = (11 - 8\sqrt{1 - 8n})(n + 1)$

Раскроем скобку в правой части:

$5n^2 + 4n + 13 = 11n + 11 - 8n\sqrt{1 - 8n} - 8\sqrt{1 - 8n}$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$5n^2 - 7n + 2 = -8n\sqrt{1 - 8n} - 8\sqrt{1 - 8n}$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$5n^2 - 7n + 2 + 8n\sqrt{1 - 8n} + 8\sqrt{1 - 8n} = 0$

Мы видим, что в левой части уравнения есть два квадратных корня, поэтому можно попробовать ввести замену $t = \sqrt{1 - 8n}$, тогда $t^2 = 1 - 8n$, и $n = \frac{1 - t^2}{8}$. Подставляя это в уравнение:

$5\left(\frac{1 - t^2}{8}\right)^2 - 7\left(\frac{1 - t^2}{8}\right) + 2 + 8\left(\frac{1 - t^2}{8}\right)t + 8t = 0$

Упростим выражение:

$\frac{5(1 - t^2)^2}{64} - \frac{7(1 - t^2)}{8} + 2 + t(1 - t^2) + 8t = 0$

Умножим обе стороны на 64, чтобы избавиться от дробей:

$5(1 - t^2)^2 - 56(1 - t^2) + 128 + 64t(1 - t^2) + 512t = 0$

Раскроем квадраты и упростим:

$5(1 - 2t^2 + t^4) - 56 + 56t^2 + 128 + 64t - 64t^2 + 512t = 0$

$5t^4 - 59t^2 + 192t + 77 = 0$

Теперь у нас есть уравнение четвертой степени относительно $t$. Решение этого уравнения может быть достаточно сложным и включать как аналитические, так и численные методы.

Чтобы найти все целые значения $n$, нам нужно найти все целые значения $t$, которые удовлетворяют $t = \sqrt{1 - 8n}$. Затем мы можем использовать найденные значения $t$ для вычисления соответствующих значений $n$.