Question

Решить уравнение: sh(iz)=-i

Answer 1

Ответ:

$z=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z$

Пошаговое объяснение:

$sh(iz)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\dfrac{cos(z)+isin(z)-(cos(-z)+isin(-z))}{2}=\\ \dfrac{cos(z)+isin(z)-cos(z)+isin(z)}{2}=isin(z)$

Тогда уравнение равносильно следующему уравнению:

$isinz=-i\\ sinz=-1\\ z=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z$

Answer 2

Давайте решим это уравнение. В начале преобразуем гиперболический синус в его определение через экспоненту:

$\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

Теперь у нас есть уравнение:

$\frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2} = -i$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$e^{iz} - e^{-iz} = -2i$

Добавим $e^{-iz}$ к обеим сторонам:

$e^{iz} = e^{-iz} - 2i$

Теперь используем тригонометрическую формулу Эйлера $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$:

$\cos(iz) + i\sin(iz) = \cos(-iz) + i\sin(-iz) - 2i$

Поскольку $\cos$ является четной функцией, а $\sin$ - нечетной:

$\cos(iz) + i\sin(iz) = \cos(iz) - i\sin(iz) - 2i$

Теперь выразим $\sin(iz)$ через $\cos(iz)$:

$2i\sin(iz) = -2i$

$\sin(iz) = -1$

Теперь нам нужно найти такое $iz$, что $\sin(iz) = -1$. Поскольку $\sin$ обращается в $-1$ при $-\frac{\pi}{2}$, можем записать:

$iz = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

где $n$ - целое число.

Итак, решение уравнения $sh(iz) = -i$ имеет вид:

$z = -i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$

где $n$ - любое целое число.