Question

Найти Область определения. у= корень из 9^х-3^х-1 Правильный ответ [-1;+∞). Но как к нему придти?

Answer 1

Ответ:

x€[-1; oo)

Пошаговое объяснение:

$y = \sqrt{ {9}^{x} - {3}^{x - 1} }$

${9}^{x} - {3}^{x - 1} \geqslant 0$

${( {3}^{2} )}^{x} - \frac{ {3}^{x} }{ {3}^{1}} \geqslant 0$

${( {3}^{x})}^{2} - \frac{1}{3} \times {3}^{x} \geqslant 0$

${3}^{x} = t. \: t > 0$

${t}^{2} - \frac{1}{3} t \geqslant 0$

$t \times (t - \frac{1}{3} ) \geqslant 0$

метод интервалов:

1).

$t \times (t - \frac{1}{3} ) = 0$

$t_{1} = 0. \: t_{2} = \frac{1}{3}$

2).

++++(0)------(1/3)+++++>t

3).

$t \geqslant \frac{1}{3}$

обратная замена:

${3}^{x} \geqslant \frac{1}{3} \\ {3}^{x} \geqslant {3}^{ - 1} \\ x \geqslant - 1$

х€[-1; oo)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции y = √(9^x - 3^x - 1), нужно учесть, что подкоренное выражение (выражение под знаком корня) должно быть неотрицательным, так как извлечение корня из отрицательного числа не определено в вещественных числах.

1. Начнем с неравенства внутри корня: 9^x - 3^x - 1 ≥ 0

2. Попробуем выразить это неравенство с помощью одной переменной. Давайте введем новую переменную, например, t = 3^x. Тогда у нас есть: 9^x = t^2.

3. Подставив это в исходное неравенство, получим: t^2 - t - 1 ≥ 0

4. Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения t^2 - t - 1 = 0, чтобы найти точки разрыва функции: t = (1 ± √5) / 2.

   Заметим, что корни этого уравнения равны (1 + √5) / 2 (положительный) и (1 - √5) / 2 (отрицательный).

5. Теперь анализируем знаки на интервалах, разбивая интервалы числовой прямой на три части, используя корни уравнения: a) t < (1 - √5) / 2 b) (1 - √5) / 2 < t < (1 + √5) / 2 c) t > (1 + √5) / 2

6. На интервале a) значение t^2 - t - 1 < 0. На интервале b) значение t^2 - t - 1 > 0. На интервале c) значение t^2 - t - 1 > 0.

7. Таким образом, неравенство t^2 - t - 1 ≥ 0 выполняется на интервалах a) и c), а не выполняется на интервале b).

8. Возвращаясь к исходной переменной x = log3(t), мы видим, что область определения функции y = √(9^x - 3^x - 1) соответствует интервалам, где неравенство t^2 - t - 1 ≥ 0 выполняется: a) x < log3((1 - √5) / 2) c) x > log3((1 + √5) / 2)

9. Вычислив значения логарифмов, получаем: a) x < -0.543 c) x > 0.262

10. Объединяя интервалы a) и c), получаем искомую область определения функции: x ∈ (-∞, -0.543) ∪ (0.262, +∞).

Итак, правильная область определения функции y = √(9^x - 3^x - 1) - это (-∞, -0.543) ∪ (0.262, +∞).