Question

Площа бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює 60 см2 . Обчисліть об′єм піраміди, якщо її апофема дорівнює 5 см.

Answer 1

Ответ:

48 см куб

Пошаговое объяснение:

1) Так как пирамида является правильной, то в её основании лежит правильный многоугольник (то есть такой, у которого все стороны и углы соответственно равны между собой). Значит, в основании данной пирамиды лежит квадрат.

2) Все 4 боковые грани правильной пирамиды равны между собой. Следовательно, площадь одной боковой грани равна:

60 : 4 = 15 см кв.

3) По форме каждая грань является треугольником.

Согласно определению, апофемой правильной пирамиды является высота её боковой грани, проведённая к стороне основания.

Следовательно, если принять за х сторону основания, то тогда можно составить уравнение:

(х * 5) : 2 = 15, откуда 5х = 30, х = 6 см - это сторона квадрата, который лежит в основании пирамиды.

4) Чтобы найти объём пирамиды, необходимо площадь её основания разделить на 3 и полученный результат умножить на высоту, которую мы пока не знаем.

5) Если опустить высоту из вершины правильной четырёхугольной пирамиды на плоскость её основания, то она окажется в точке пересечения диагоналей квадрата 6 х 6, то есть расстояние от этой точки до стороны квадрата основания составит:

6 : 2 = 3 см, и этот отрезов длиной 3 см сомкнётся с апофемой.

6) В полученной прямоугольном треугольнике апофема является гипотенузой (5 см), 3 см - это катет, а второй катет - высота, которую надо найти. Находим по теореме Пифагора:

h = √ (5)^2 - (3)^2 = √ 25 - 9 = √ 16 = 4 см - мы нашли высоту пирамиды.

6) Теперь находим её объём: чтобы найти объём пирамиды, необходимо площадь её основания разделить на 3 и полученный результат умножить на высоту:

(6 * 6) : 3 = 12 см кв

12 * 4 = 48 см кубических

Ответ: 48 см куб

Answer 2

Позначимо площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди як S, а її апофему (радіус вписаного кола в підставі піраміди) як "r". Площа бічної поверхні піраміди може бути знайдена за формулою:

S = (периметр підстави) * (апофема) / 2.

Знаючи, що площа бічної поверхні S дорівнює 60 см², а апофема r дорівнює 5 см, ми можемо визначити периметр підстави піраміди:

60 = (периметр) * 5 / 2, периметр = 60 * 2 / 5, периметр = 24 см.

Піраміда є правильною чотирикутною, отже, її підстава - квадрат. Периметр квадрата дорівнює 4 * сторона. Таким чином, сторона квадрата, який є підставою піраміди:

сторона = периметр / 4, сторона = 24 / 4, сторона = 6 см.

Тепер ми можемо знайти площу підстави квадрата:

Площа підстави = сторона², Площа підстави = 6², Площа підстави = 36 см².

Об'єм правильної піраміди може бути знайдений за формулою:

Об'єм = (площа підстави) * (висота) / 3.

Ми знаємо апофему (r = 5 см), і висоту піраміди можна знайти за допомогою теореми Піфагора для трикутника, утвореного напіввисотою, половиною сторони підстави та апофемою піраміди:

висота² + (половина сторони)² = апофема², висота² + 3² = 5², висота² = 25 - 9, висота² = 16, висота = 4 см.

Тепер ми можемо підставити відомі значення в формулу для об'єму:

Об'єм = (36 см²) * (4 см) / 3, Об'єм = 48 см³.

Отже, об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює 48 см³.