Question

Решите уравнение методом введения новой переменной: 5^x+4=5^2x+1​

Answer 1

Ответ:

x=log_5(1+13^1/2)/2

Решить уравнение введением

новой переменной.

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение методом введения новой переменной, введем новую переменную u = 5^x. Заметим, что 5^2x = (5^x)^2 = u^2. Тогда уравнение примет вид:

u + 4 = u^2 + 1.

Перепишем уравнение в квадратном виде:

u^2 - u - 3 = 0.

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. Воспользуемся формулой квадратного корня:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Для данного уравнения:

a = 1, b = -1, c = -3.

Подставляя значения, получаем:

u = (1 ± √((-1)^2 - 41(-3))) / (2*1).

Выполняя вычисления внутри квадратного корня:

u = (1 ± √(1 + 12)) / 2.

u = (1 ± √13) / 2.

Таким образом, мы получили два значения u:

1. u = (1 + √13) / 2.
2. u = (1 - √13) / 2.

Теперь, зная значения u, мы можем найти значения x. Вспомним, что u = 5^x. Тогда решим уравнения относительно x:

1. (1 + √13) / 2 = 5^x.
2. (1 - √13) / 2 = 5^x.

Для нахождения x в обоих случаях необходимо взять логарифм от обеих частей уравнения по основанию 5:

1. x = log₅((1 + √13) / 2).
2. x = log₅((1 - √13) / 2).

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения x, равные log₅((1 + √13) / 2) и log₅((1 - √13) / 2).