Question

Найти частное:4y"+4y'+y=0;y(0)=2, y’(0)=0

Answer 1

Ответ:

Смотри картинку.

Пошаговое объяснение:

Ну вот.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 + 4r + 1 = 0.

Решим это характеристическое уравнение для нахождения корней r:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 4 и c = 1:

r = (-4 ± √(4^2 - 411)) / (2*1), r = (-4 ± √(16 - 4)) / 2, r = (-4 ± √12) / 2, r = -2 ± √3.

Итак, у нас есть два различных корня характеристического уравнения: -2 + √3 и -2 - √3.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = c1 * e^((-2 + √3)t) + c2 * e^((-2 - √3)t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Используя начальные условия y(0) = 2 и y'(0) = 0, мы можем найти значения констант c1 и c2:

y(0) = c1 * e^(0) + c2 * e^(0) = c1 + c2 = 2, y'(0) = (-2 + √3)c1 * e^(0) + (-2 - √3)c2 * e^(0) = (-2 + √3)c1 - (2 + √3)c2 = 0.

Из первого уравнения выразим, например, c1: c1 = 2 - c2.

Подставим это значение c1 во второе уравнение:

(-2 + √3)(2 - c2) - (2 + √3)c2 = 0, -4 + 2√3 + 2c2 - √3c2 - 2c2 - √3c2 = 0, -4 - √3c2 = -2√3, √3c2 = 2√3, c2 = 2.

Затем находим c1:

c1 = 2 - c2 = 2 - 2 = 0.

Итак, константы c1 и c2 равны 0 и 2 соответственно. Подставляя их в общее решение, получим частное решение данного дифференциального уравнения:

y(t) = 0 * e^((-2 + √3)t) + 2 * e^((-2 - √3)t), y(t) = 2 * e^(-2t) * e^(√3t) + 2 * e^(-2t) * e^(-√3t), y(t) = 2e^(-2t) * (e^(√3t) + e^(-√3t)).

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения:

y(t) = 2e^(-2t) * (cosh(√3t)).